Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken. (Q2610002)

Eine frühere Arbeit des Verf. (Compositio math., Groningen, 2 (1935), 69-133; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 789) wird mit denselben Methoden fortgesetzt. Betrachtet wird die innere Differentialgeometrie vollständiger Flächen \(F\) (vgl. 1. c.), die der Ebene homöomorph sind; die Totalkrümmung eines Bereiches \(G\) von \(F\) heißt \(C(G)\); eine g. L. (\(=\) geodätische Linie) heißt eine ``geodätische Gerade'', wenn sie die kürzeste Verbindung zwischen jedem ihrer Punktepaare ist; \(K\) bezeichnet die \textit{Gauß}sche Krümmung. Die einfachsten und wichtigsten unter den zahlreichen neuen Resultaten sind die folgenden: Ist \(G\) von einer offenen g. L. berandet und mit der Halbebene homöomorph, so ist \(C(G)\leqq \pi \); ist die berandende g. L. eine geodätische Gerade, so ist sogar \(C(G)\leqq 0\) (immer vorausgesetzt, daß \(C(G)\) existiert). Ist \(C(F) > 0\), so gibt es auf \(F\) keine geodätische Gerade. Ist auf \(F\) überall \(K > 0\), so gelten die Sätze: Jede g. L. hat höchstens einen Doppelpunkt; jede g. L. läuft beiderseits ins Unendliche von \(F\); je zwei g. Ln. schneiden sich; durch jeden Punkt geht wenigstens eine g. L. ohne Doppelpunkt.