Zur allgemeinen projektiven Differentialgeometrie. (Q2610050)

Die im wesentlichen (was die Methode betrifft) von \textit{van Dantzig} (Math. Ann. 106 (1932), 400-454; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 757) stammende Theorie des projektiven Zusammenhangs wurde von den Verf. in manchen Punkten verbessert und hier in ihrer endgültigen Form dargestellt. Der erste, größere Teil der Arbeit ist der Begründung des projektiven Zusammenhanges gewidmet. Durch Einführung der sogenannten Ideale und durch die konsequente Benutzung des Begriffs des Exzesses eines Projektors gewinnt die Darstellung viel an Klarheit und Übersichtlichkeit. Nach der Einführung der Grundbegriffe wird das Verhältnis zwischen den lokalen \(P_{n}\) und \(\overset{x}{P}_n\) klargestellt, worauf die Parameter des allgemeinen projektiven Zusammenhanges eingeführt werden. Ferner wird der neue Begriff der lokalen Normalisierbarkeit definiert. Alsdann werden die Bedingungen festgestellt für die Existenz der Punktübertragung. Es hat sich als wichtig und nützlich gezeigt, die sogenannten speziellen Punktübertragungen einzuführen. Es wird u. a. bewiesen, daß (1) zu jeder symmetrischen speziellen Punktübertragung ein einziger symmetrischer und lokal normalisierbarer Zusammenhang gehört und (2) eine \(H_{n}\) mit einer integrablen, symmetrischen, speziellen Punktübertragung eine gewöhnliche \(P_{n}\) ist. Es wird weiter gezeigt, daß zu jeder speziellen Punktübertragung durch jeden Punkt der \(H_{n}\) in jeder Richtung eine einzige geodätische Linie hindurchgeht. Umgekehrt gibt es zu einem gegebenen Bahnkurvensystem in \(H_{n}\) mehrere Zusammenhänge, welche alle bestimmt werden. Der projektive Zusammenhang für Projektoren der \(X_{n}\) erzeugt eine Übertragung für kontravariante proiettive Vektordichten der \(X_{n}\) vom Gewicht \(\dfrac{1}{n+1}\). Der erste Teil der Arbeit endigt mit den Betrachtungen über die Beziehungen zwischen den Punktübertragungen in \(H_{n}\) und \(X_{n}\). Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Einbettung und Einspannung einer \(H_m\) in eine \(H_{n}\). Ist der Zusammenhang im Außenraum (1) symmetrisch, (2) lokal normalisierbar, (3) eine Vektorübertragung, (4) eine (spezielle) Punktübertragung, so hat -- im Falle der Einspannung - der induzierte Zusammenhang im Innenraume genau die entsprechende Eigenschaft. Ist also die \(H_{n}\) eine \(P_n\), so sind die induzierten Zusammenhänge in den eingespannten, eingebetteten Unterräumen symmetrische und spezielle Punktübertragungen. Unter dem Titel der Anwendung wird genauer der Fall \(m = n - 1\) betrachtet, wenn die \(H_{n}\) mit einer symmetrischen, speziellen Punktübertragung ausgestattet ist. Man bekommt so eine Verallgemeinerung der \textit{Čech-Fubini}schen Theorie. Die Behandlungsweise (für \(H_{n} = P_n\)) unterscheidet sich aber von der letztgenannten Theorie auch in der Einführung homogener krummliniger Koordinaten im Außen- sowie im Innenraume. Aus dem Grundaffinor der Einbettung gewinnt man eine symmemetrische Projektordichte im Außenraum, die der \textit{Lie-Čech}schen Hyperfläche entspricht. Umgekehrt bestimmt eine solche Hyperfläche eindeutig eine Projektivnormale und folglich eine Einspannung. Obwohl der Außenraum \(H_{n}\) gekrümmt sein kann, gibt es merkwürdigerweise ganz unwesentliche Unterschiede zwischen dem allgemeinen und dem klassischen Fall (wo \(H_{n} = P_n\)). Die weiteren Untersuchungen, insbesondere die von \textit{Hlavatý}, die den allgemeinen Fall der Einbettung betreffen, wurden in dieser Arbeit nicht berücksichtigt. Es sei betont, daß die Theorie des projektiven Zusammenhanges in dieser Behandlung sich schon in der konformen Geometrie als erfolgreich erwiesen hat. (V 6 D.)