Über den verallgemeinerten Fluß-Divergenz-Satz. (Q2610095)

Es sei \(D\) eine offene beschränkte Menge des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes und \(\boldsymbol{a} (P)\) eine in den Punkten \(P\) des Randes \(F\) von \(D\) definierte Vektorfunktion. Die klassische Definition des Flusses des Vektors \(\boldsymbol{a} (P)\) durch \(F\) wird folgendermaßen erweitert: Es sei \(\boldsymbol m\) ein beliebiger Einheitsvektor und \(\varPi\) eine beliebige zu \(\boldsymbol{m}\) orthogonale Ebene. Durch jeden Punkt \(Q\) von \(\varPi\) wird eine zu \(\boldsymbol m\) parallele Gerade \(l_Q\) gezogen; der Durchschnitt \(\varOmega_Q\) der Mengen \(l_Q\) und \(D\) besteht aus höchstens abzählbar vielen offenen Segmenten \(\overline{P_i'P_i''}\) (der Vektor \(\overline{P_i'P_i''}\) habe die Richtung des Vektors \(\boldsymbol m\)). Es wird alsdann eine Hilfsfunktion \(\boldsymbol{\varPhi}_{\boldsymbol{m}}(Q)\) definiert. Ist \(\varOmega_Q\) leer, so setzt man \(\boldsymbol{\varPhi}_{\boldsymbol{m}}(Q) = 0\); ist aber \(\varOmega_Q\) nicht leer, so sei \[ \boldsymbol{\varPhi}_{\boldsymbol{m}}(Q)=\sum_i\{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{m}}(P_i'') -\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{m}}(P_i')\}, \] wo mit \(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{m}}(P)\) die Komponente von \(\boldsymbol{a} (P)\) in der Richtung von \(\boldsymbol{m}\) bezeichnet wird; es wird vorausgesetzt, daß im Falle einer unendlichen Anzahl von Segmenten die auf der rechten Seite stehende Reihe absolut konvergent ist. Unter der Annahme, daß \(\boldsymbol{\varPhi}_{\boldsymbol{m}}\) fast überall definiert und summierbar ist, wird das Integral \[ A(\boldsymbol{m})=\int\limits_{\boldsymbol{\varPi}} \boldsymbol{\varPhi}_{\boldsymbol{m}}(Q)\,dQ \] gebildet. Ist nun (1) \(A (\boldsymbol{m})\) für jede Richtung \(\boldsymbol{m}\) definiert (endlich) und (2) die Summe \(M=A(\boldsymbol{m}_1)+A(\boldsymbol{m}_2)+\cdots+A(\boldsymbol{m}_n)\) für die Einheitsvektoren \(\boldsymbol{m}_i\) eines Koordinatenrechtssystems von der Wahl dieses Systems unabhängig, so heißt \(M\) der \textit{Fluß} des Vektors \(\boldsymbol{a} (P)\) durch \(F\). Um die Hauptsätze über den Fluß zu beweisen, führt Verf. eine besondere Klasse von Mengen ein, die er \textit{Green}sche Mengen nennt. Zu dem Zwecke wird, unter Beibehaltung obiger Bezeichnungen, eine von \(D\) und \(\boldsymbol{m}\) abhängige Funktion \(\varphi(Q)\) definiert: \(\varphi(Q) =\) Anzahl der Segmente \(\overline{P_i' P_i''}\), aus denen \(\varOmega_Q\) besteht. Ist nun \(\varphi (Q)\) für jede Richtung \(\boldsymbol{m}\) fast überall endlich und summierbar, so heißt \(D\) eine \textit{Green}sche Menge. Nachdem ferner mehrere Hilfssätze über Vektorfunktionen von Punkten und ihre Differenzierbarkeit abgeleitet worden sind, wird der Hauptsatz über die Existenz des Flusses bewiesen: Der Fluß des Vektors \(\boldsymbol{a}(P)\) durch \(F\) existiert immer, wenn (1) \(D\) eine offene, beschränkte \textit{Green}sche Menge ist, (2) \(\boldsymbol{a} (P)\) eine am Rande \(F\) von \(D\) stetige Funktion ist. Zuletzt wird gezeigt, daß unter gewissen Annahmen der Fluß gleich dem Divergenzintegral \(\int\limits_D \text{div}\,\boldsymbol{a} (Q)\, dQ\) ist.