Über die Lagrangeschen strengen Lösungen des Dreikörper\-problems. (Q2610204)

Verf. gibt einen neuen und sehr einfachen Beweis für die fünf \textit{Lagrange}schen Lösungen beim Dreikörperproblem. Die Voraussetzungen sind so allgemein wie mög\-lich, alle drei Massen \(\mathfrak m_0\), \(\mathfrak m\), \(\mathfrak m'\) dürfen also endlich sein, und in bezug auf die gegen\-seitigen Entfernungen wird keine einschränkende Annahme gemacht. Die Entfernungen \(\mathfrak m_0\mathfrak m\), \(\mathfrak m_0\mathfrak m'\), \(\mathfrak m'\mathfrak m\) werden beziehungsweise mit \(r\), \(r'\), \(\varDelta\) bezeichnet, \(v\) und \(v'\) sind die Längen von \(\mathfrak m\) und \(\mathfrak m'\) in den oskulierenden Bahnebenen. Ferner wird noch gesetzt \[ M=\mathfrak m_0+\mathfrak m,\;M'=\mathfrak m_0+\mathfrak m',\;m=\frac{\mathfrak m}{\mathfrak m_0},\;m'=\frac{\mathfrak m'}{\mathfrak m_0}. \] Für die Koordinaten \(r\), \(v\) gelten, falls mit \(H\) der Winkel (\(rr'\)) bezeichnet wird, die Gleichungen \[ \frac d{dt}\left(r^2\dfrac{dv}{dt}\right)=-\frac MrQ,\quad r\frac{d^2r}{dt^2}-r^2\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2+\frac Mr=-\frac MrP, \] wobei \[ Q=-\frac{m'}{1+m}\left(\dfrac{r'{}^3}{\varDelta^3}-1\right)\frac{r^2}{r'{}^2} \dfrac{\partial \cos H}{\partial v},\quad P=\frac{m'}{1+m}\left[\frac{r^3}{\varDelta^3}\left(\dfrac{r'{}^3}{\varDelta^3}-1\right)\frac{r^2}{r'{}^2}\cos H\right]. \] Für \(r'\), \(v'\) gelten analoge Differentialgleichungen, hier haben \(Q'\), \(P'\) für \(\mathfrak m'\) eine analoge Bedeutung wie \(Q\), \(R\) für \(\mathfrak m\). Verf. integriert die Differentialgleichungen unter der Annahme \(Q = Q' =0\) \(P=\) const, \(P'=\) const. Die Bewegung ist dabei verschieden von der ungestörten, da für diese \(P = P' = 0\) ist. Unter der weitern Annahme, daß auch die in den Differential\-gleichungen für die dritten Koordinaten \(\mathfrak z\), \(\mathfrak z'\) vorkommenden Größen \(Z\), \(Z'\) verschwinden, ergibt sich als Bahn von \(\mathfrak m\) ein Kegelschnitt in einer festen Ebene; auch für \(\mathfrak m'\) resultiert ein Kegelschnitt in einer festen Ebene, doch bleibt es zunächst dahingestellt, ob beide Bannebenen zusammenfallen oder nicht. Die über die \(Q\), \(P\), \(Q'\), \(P'\), \(Z\), \(Z'\) gemachten Annahmen sind dann erfüllt, wenn die drei Körper die Ecken eines gleichseitigen Drei\-ecks bilden. Die Bahnebenen fallen zusammen, die Exzentrizitäten sind gleich, und die Differenz der Perihellängen ist \(60^{\circ}\). Damit sind zwei der \textit{Lagrange}schen Lösungen ab\-geleitet. Zu den drei übrigen gelangt Verf. dadurch, daß erzeigt, daß die Annahmen über die \(Q\), \(P\), \(Q'\), \(P'\), \(Z\), \(Z'\) auch dann erfüllt sind, wenn die drei Massen sich in gerader Linie befinden. Auch in jedem der jetzt in Betracht kommenden Fälle fallen die Bahnebenen zusammen.