Note on the Galerkin and Papkovitch stress functions. (Q2610253)

\textit{B. Galerkin} (C. R. Acad. Sci., Paris, 190 (1930), 1047-1048; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 700), \textit{P. F. Papkowitsch} (Expressions générales des composantes des tensions, ne renfermants comme fonctions arbitraires que des fonctions harmoniques, C. R. Acad. Sci., Paris, 195 (1932), 754-756; F. d. M. 58) und \textit{H. Neuber} (Z. angew. Math. Mech. 14 (1934), 363-364; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 720) haben Darstellungen für das Vektorfeld der elastischen Verschiebung eines Körpers mit Hilfe von ``Spannungsfunktionen'' angegeben. Verf. zeigt, daß diese Darstellungen sich unmittelbar ergeben, wenn man das Verschiebungs\-feld \(\mathfrak u\) als Überlagerung eines quellenfreien und eines wirbelfreien Feldes, also durch \[ \mathfrak u = \operatorname{grad} \varphi + \operatorname{rot}\mathfrak S\quad (\operatorname{div}\mathfrak S = 0) \] darstellt. Setzt man hier \[ \gamma= - \operatorname{rot}\mathfrak W,\quad \varphi =\frac1\alpha \operatorname{div}\mathfrak W\quad \left(\alpha=\dfrac{2(1-\mu)}{1-2\mu}\right), \] so genügt, wenn körperliche Kräfte fehlen, \(\mathfrak W\) der Gleichung \[ \varDelta\varDelta\mathfrak W=0 \] und ist bis auf einen Faktor die \textit{Galerkin}sche Spannungsfunktion. Setzt man \[ \mathfrak B=\alpha \operatorname{grad} \varphi + \operatorname{rot}\mathfrak S, \] so ist \[ \varphi=\frac1{2\alpha}(\mathfrak r\mathfrak B+\psi), \] unter \(\mathfrak r\) der Ortsvektor verstanden, und \(\mathfrak B\) und \(\psi\) sind beim Fehlen körperlicher Kräfte harmonische Funktionen. Damit hat man die Darstellung von \textit{Papkowitsch} bzw. \textit{Neuber}.