Elastische Schwingungen, die sich von einem zeitlich und räumlich begrenzten Oberflächen\-span\-nungs\-gebiet in einem isotropen homogenen elastischen Halbraum ausbreiten. (Q2610261)

Da die Vorgänge in allen Ebenen \(z =\) const des Halbraumes die gleichen sein sollen, handelt es sich in der Arbeit um das folgende ebene elastische Problem (die Bezeich\-nungen sind gegenüber denen des Verf. etwas geändert): In der von der \(x\)-Achse be\-grenzten Halbebene (\(y > 0\)) finden elastische Schwingungen statt, angeregt von Normal\-kräften \(S_{yy}\) und Schubkräften \(S_{yx}\), die auf der \(x\)-Achse als geeignete Funktionen von \(x\) und \(t\) \[ S_{yx}=\varphi_{12}(x,t),\quad S_{yy}=\varphi_{22}(x,t)\qquad(t>0) \tag{1} \] verteilt sind, während sie für \(t<0\) verschwinden sollen. Für den Ansatz des Problems stellt Verf. den Verschiebungsvektor als Überlagerung eines wirbelfreien und eines quellfreien Vektors dar, so daß die Verschiebungskomponenten die Form \[ u(x,y,t)=\frac{\partial \varPhi}{\partial x}+\frac{\partial A}{\partial y},\quad v(x,y,t)=\frac{\partial \varPhi}{\partial y}-\frac{\partial A}{\partial x} \tag{2} \] erhalten. Dabei genügen die beiden Funktionen \(\varPhi(x, y, t)\) und \(A (x, y, t)\) je der Wellen\-gleichung, die für \(\varPhi\) mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit \(\sigma_1\), für \(A\) mit der Fort\-pflanzungsgeschwindigkeit \(\sigma_2\) (\(\sigma_1>\sigma_2\)) anzusetzen ist, und sind durch die aus (1) ent\-springenden Randbedingungen festgelegt. Unter Einführung zweier Systeme \textit{Green}scher Funktionen lassen sich \(\varPhi\) und \(A\) in der Form (\(\varrho=\) Dichte des elastischen Mittels) \[ \left\{\begin{aligned} \varPhi(x,y,t)&=\frac1{\pi\sigma_2\varrho}\frac{\partial}{\partial y} {\int_{-\infty}^{+\infty}}\bigg\{ {\int_{0}^{t-\frac y{\sigma_1}}} [f_1(x-\xi,y,t-\tau)\,\varphi_{12}(\xi,\tau) +f_2(x-\xi,y,t-\tau)\,\varphi_{22}(\xi,\tau)]\,d\tau\bigg\}\,d\xi,\\ A(x,y,t)&=\frac1{\pi\sigma_2\varrho}\frac{\partial}{\partial y} {\int_{-\infty}^{+\infty}}\bigg\{ {\int_{0}^{t-\frac y{\sigma_2}}} [g_1(x-\xi,y,t-\tau)\,\varphi_{12}(\xi,\tau) +g_2(x-\xi,y,t-\tau)\,\varphi_{22}(\xi,\tau)]\,d\tau\bigg\}\,d\xi \end{aligned}\right. \tag{3} \] darstellen, wobei das System der beiden \textit{Green}schen Funktionen \(f_1\), \(g_1\) den Schwingungs\-vorgang beschreibt, den eine an der Stelle \(\xi\) zu der Zeit \(\tau\) momentan wirkende Einheits\-schubkraft (Richtung der \(x\)-Achse) hervorrufen würde, während das System \(f_2\), \(g_2\) entsprechend den Schwingungsvorgang wiedergibt, den eine entsprechende Einheits\-normalkraft (Richtung der \(y\)-Achse) erzeugt. Um nun die beiden Funktionenpaare \(f_1(x, y,t)\), \(g_1(x, y,t)\) und \(f_2(x, y,t)\), \(g_2(x, y,t)\) zu gewinnen, setzt Verf. zunächst \(\varPhi\) und \(A\) proportional zu \(e^{i(\alpha x+\beta y+\mu t)}\) an und erfüllt, da die Randbedingungen auf \(y = 0\) vorgeschrieben sind, jeweils die Wellengleichung, indem er \(\beta\) geeignet als Funktion der willkürlich bleibenden Frequenzen \(\alpha\) und \(\mu\) aus\-drückt. Dann läßt sich auf Grund der \textit{Fourier}schen Integraldarstellung jede der vier \textit{Green}schen Funktionen \(f_1\), \(f_2\) und \(g_1\), \(g_2\) als ein zweifaches Integral ausdrücken, bei dem zuerst nach \(\mu\) und dann nach \(\alpha\) je von 0 bis \(\infty\) bzw. \(-\infty\) bis \(+\infty\) integriert wird. Um für die Auswertung der Integrale die Hilfsmittel der komplexen Funktionen\-theorie heranziehen zu können, wird \(\mu\) als komplexe Veränderliche gedeutet und ent\-sprechend das Integral nach \(\mu\) als Kurvenintegral (längs der reellen Achse) angesprochen, dessen Integrationsweg sich durch Hinzufügen eines sehr großen Halbkreises zu einer geschlossenen Kurve ergänzen läßt. Durch geeignete Einführung einer neuen Ver\-änderlichen \(\zeta\) an Stelle von \(\mu\) gelingt es, die Reihenfolge der Integrationen zu vertauschen, die Integration nach \(\alpha\) auszuführen und so jede der vier \textit{Green}schen Funktionen als Kurvenintegral nach der komplexen Veränderlichen \(\zeta\) darzustellen. Dabei verhalten sich die Funktionen \(f_1\), \(f_2\) der schneller laufenden Wellen anders als die Funktionen \(g_1\), \(g_2\) der langsamer laufenden Wellen. Während nämlich die Wellen\-front einer Einzelerregung bei einer schnellen Welle ein Halbkreis mit dem Halbmesser \(\sigma_1t\) um den Quellpunkt ist, greift für die langsamer laufenden Wellen die Wellenfront über den Halbkreis mit dem Halbmesser \(\sigma_2t\) hinaus. Denn die schneller laufenden Wellen haben die von ihnen vor der Zeit \(t\) erreichten Punkte der \(x\)-Achse bereits zu Schwingungen angeregt und sie so zu neuen Quellpunkten für langsamer laufende Wellen gemacht. Die Wellenfront der langsamer laufenden Welle ist entsprechend die Hüllkurve aller zu diesen neuen Quellpunkten gehörigen Halbkreise und besteht daher aus einem Stück des Halbkreises mit dem Halbmesser \(\sigma_2t\) und den beiden Tangenten, die sich aus den beiden Punkten \(\pm\sigma_1t\) der \(x\)-Achse an diesen Halbkreis legen lassen. Geht man mit den gewonnenen Werten der \textit{Green}schen Funktionensysteme in (3) ein und von da zu (2) über, so erhält man, da die Integration nach \(\zeta\) fortfällt, über\-sichtliche Darstellungen von \(u\) und \(v\) als zweifache Integrale in \(\xi\) und \(\tau\). Verf. zeigt dann, daß umgekehrt die so gebildeten Funktionen \(\varPhi\) und \(A\) je ihrer Wellengleichung genügen und daß sie auf der \(x\)-Achse die vorgeschriebenen Rand\-bedingungen (1) befriedigen. Er führt schließlich aus, daß seine Formeln auch die Schwingungen in der Oberfläche richtig darstellen, indem er zeigt, daß sie mit den früher von \textit{H. Lamb} (Philos. Trans. R. Soc. London (A) 203 (1904), 1-42; F. d. M. 34, 859 (JFM 34.0859.*)-860) für die Oberflächenschwingungen gefundenen Formeln übereinstimmen.