Die Bestimmung der Schubbeanspruchung beim Ausbeulen rechteckiger Platten. (Q2610271)

Die Verf. stellen sich die Aufgabe, für das im Titel gekennzeichnete Problem über die bisherigen diesbezüglichen Arbeiten hinaus für die kritische Schubkraft erstmalig auch eine brauchbare untere Grenze zu berechnen. Dazu ermitteln sie zunächst eine obere und untere Grenze für die Summe \(Q\) der reziproken Quadrate der Eigenwerte \(\lambda_n\), \(Q=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\lambda_n^2}\), als Grenzwert der entsprechenden Summe der \textit{Ritz}schen Näherungswerte \(\varLambda_n\), von denen sie eine möglichst große Zahl \(m\) berechnen, woraus sie z. B. für \(\lambda_1\) die untere Schranke \[ \lambda_1 \geqq \frac{1}{\sqrt{Q-\sum\limits_{2}^{m} \dfrac{1}{\varLambda_n^2}}} \] gewinnen. Zunächst leiten die Verf. aus dem \textit{Rayleigh}schen Ansatz in der Formulierung, daß das Zählerintegral der Formänderungsarbeit \(A\) zu einem Minimum zu machen sei, während das Nennerintegral \(F\), das sich hier nur auf den Faktor der Schubspannung in der \textit{Bryan}schen Gleichung reduziert, konstant bleibt, nach Durchführung der Variation \(\delta \, (A-\varrho F)=0\) und Benützung der \textit{Green}schen Formel wieder die Differentialgleichung des Problems ab, wobei der \textit{Lagrange}sche Faktor \(\varrho\) im wesentlichen die Schubspannung \(\tau\) am Rande darstellt. Hierauf entwickeln sie ihr Verfahren an dem Beispiel einer quadratischen Platte von der Seitenlänge \(\pi\) und erhalten aus dem die Randbedingungen \(w = 0\), \(\varDelta w = 0\) erfüllenden Ansatz \(w=\sum\limits_{h} \sum\limits_{k} c_{hk} \, \sin \, hx \, \sin \, ky\) nach \textit{Ritz} aus der Forderung \(A-\varrho F \to \text{ Min}\) für die Koeffizienten \(c_{hk}\) ein System von unendlich vielen homogenen linearen Gleichungen, deren verschwindende Determinante im Grenzwert der Summe der eigenwertfreien Hauptdiagonalterme obigen Wert \(Q\) ergibt, der sich zunächst durch vierfache Summen, dann aber nach geeigneten Umformungen durch sieben Doppelsummen darstellt, deren Summenreste die Verf. mittels eines Doppelintegrales über die in den Doppelsummen auftretenden Funktionen abschätzen, wobei sie durch ein sinnreiches Verfahren jene Mindestgrenze der Summationsindices festsetzen, für die der Wert des Doppelintegrals größer ist als der Summenrest. In diesem Falle erhält man nämlich für \(Q\) eine obere bzw. untere Grenze, wenn man bei positiver Summe für den Summenrest jeweils das Doppelintegral hinzufügt bzw. wegläßt. Schließlich wird die oben erwähnte verschwindende Determinante der für \(c_{hk}\) entwickelten Gleichungen zur Bestimmung von acht \textit{Ritz}schen Näherungswerten \(\varLambda_1\) bis \(\varLambda_8\) benützt, wobei den Verf. im gewählten Beispiel eine Zerfällung in zwei Determinanten diese Bestimmung erleichtert. So finden sie für die kritische Schubspannung \(\tau\) der quadratischen Platte die Grenzen: \[ \frac{7,75 \, N}{h} \leqq \tau \leqq \frac{9,27 \, N}{h}, \] worin \(N\) die Plattensteifigkeit, \(h\) die Plattendicke bedeuten. Das Verfahren kann in analoger Weise auch auf andere Randwertprobleme übertragen werden und vermag insbesondere dann wertvolle Dienste zu leisten, wenn die explizite Darstellung der \textit{Green}schen Funktion des betreffenden Problems, die in bekannter Art ebenfalls untere Schranken für die Eigenwerte liefert, nicht möglich erscheint.