The equilibrium and elastic stability of a thin twisted strip. (Q2610287)

Verf. geht aus von der üblichen \textit{St. Venant}schen Theorie für die Drillung eines Prismas mit rechteckigem Querschnitt. Er nimmt aber dann sogleich an, die eine Seite des Rechtecks sei klein gegen die andere, und faßt entsprechend das Prisma als eine Platte auf, für die er aus der \textit{St. Venant}schen Theorie den Tensor der Spannungen (d. s. hier die in der Längeneinheit übertragenen Kräfte) und den Tensor der Momente sowie die beiden Querkräfte berechnet, übrigens hier, wie auch im folgenden stets, im engsten Anschluß an \textit{Love}s Lehrbuch der Elastizitätslehre (A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4. ed. 1927; F.~d.~M. 53, 752). Diesen Ansatz für den Plattenstreifen, bei dem sich der Drall \(\tau\) ebenso wie in der \textit{St. Venant}schen Theorie dem Drillmoment proportional ergibt, sucht Verf. dadurch zu verallgemeinern, daß er die Dehnung der Längsfasern beim Drillen in Rechnung stellt. Dabei geht er aus von der Annahme, die Mittelebene des Plattenstreifens verforme sich in eine Schraubenfläche, so daß von den Längsfasern nur die Achse geradlinig bleibt, während alle andren Längsfasern zu Schraubenlinien werden. Um aber für diese Verzerrung die Gleichgewichtsbedingungen der Plattentheorie befriedigen zu können, muß er vorab noch eine konstante Dehnung aller Längsfasern vornehmen und gleichzeitig auch die mit der Längsdehnung verbundene Querkontraktion in Rechnung stellen. Die Rechnung ergibt dann einen Zusammenhang des Drillmomentes \(M\) mit dem Drall \(\tau\) von der Gestalt \[ M=Gbh^3 \left( \frac{16}{3}-\frac{h}{b} \, (3, \, 361) \right) \tau + \frac{8}{45} \, Ehb^5 \, \tau^3. \] Die so erhaltene Gleichgewichtsfigur des Streifens untersucht Verf. dann auf Stabilität. Dazu geht er von dieser ``Grundlösung'' zu einer Nachbarlösung über, indem er der Mittelfläche der Grundlösung durch eine Verschiebung eine Nachbarlage zuordnet. Sind \(u\), \(v\) die beiden Komponenten der Verschiebung in der Mittelfläche und ist \(w\) die zur Mittelfläche senkrechte Komponente, so ergeben sich für \(u\), \(v\), \(w\) drei lineare partielle Differentialgleichungen. Zwei von ihnen befriedigt Verf. identisch, indem er \(u\) und \(v\) durch die zweiten Ableitungen einer Funktion \(\psi\) ausdrückt. Er erhält so zwei lineare partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung für \(\psi\) und \(w\) mit homogenen Randbedingungen, in deren Koeffizienten der Drall \(\tau\) auftritt. Um eine den Randbedingungen genügende Lösung dieser beiden Gleichungen zu konstruieren, macht er den Ansatz \[ w=W \, (y) \, \sin \, mx, \qquad \psi=\varPsi \, (y) \, \cos \, mx, \] wo die Frequenz \(m\) ein zunächst unbestimmter Parameter ist (\(x\) und \(y\) sind die allgemeinen Koordinaten in der Längs- und Querrichtung auf der Mittelfläche), und geht so über zu einem gekoppelten System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen für \(W\) und \(\varPsi\), in die die Frequenz \(m\) als ein Parameter eingeht. Um schließlich eine den homogenen Randbedingungen genügende Lösung dieses Systems zu finden, setzt er \(W\) und \(\varPsi\) als \textit{Fourier}sche Reihen an und erhält für deren Koeffizienten ein homogenes System unendlich vieler linearer Gleichungen. Das Verschwinden ihrer Determinante, das in einer Beziehung zwischen \(\tau\) und \(m\) seinen formalen Ausdruck findet, stellt das Stabilitätskriterium dar. Verf. bestimmt hiernach numerisch den kritischen Drall \(\tau\) als Funktion der Frequenz \(m\), indem er die kleinste Wurzel der Gleichung berechnet. Experimente des Verf. an Stahlstreifen zeigen ziemlich gute Übereinstimmung mit den theoretischen Ergebnissen.