On the radiation emitted by a multipole and its angular momentum. (Q2610510)

Verf. leitet, ausgehend von der Vektorgleichung des Strahlungsfeldes \[ \varDelta\mathfrak A-\frac1{c^2}\ddot{\mathfrak A}=0 \] unter der Nebenbedingung \[ \operatorname{div}\mathfrak A=0, \] die exakten klassischen Ausdrücke für die Strahlungsfelder eines elektrischen und magnetischen \(2l\)-Poles her, indem er das Strahlungsfeld in Reihen nach Kugelwellen entwickelt. Es ergibt sich für jedes \(l\) je ein System von \(2l+1\) orthogonalen Eigenfunktionen, die noch durch eine weitere ganze Zahl \(m\) (\(m=-l\),\dots, 0, 1,\dots, \(l\)) charakterisiert werden, welche den verschiedenen räumlichen Orientierungen des Multipols entspricht. Die Eigenfunktionen können bis auf Faktoren durch Kugelfunktionen dargestellt werden gemäß folgendem Schema: \newline \vbox{\tabskip=3pt\offinterlineskip \halign{&#&\vrule#&\hfil\(#\)\hfil&\vrule#&\hfil\(#\)\hfil&\vrule#&\hfil\(#\)\hfil& \vrule#&\hfil\(#\)\hfil&\vrule#&\hfil\(#\)\hfil&\vrule#&\hfil\(#\)\hfil\cr &\multispan{12}\hrulefill\cr &height10pt&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit&&\omit\cr &&E_z&&E_x\pm iE_y&&H_z&&H_x\pm iH_y&&E_r&&H_r\cr &height10pt&&&&&&&&&&&\cr \noalign{\hrule} &height10pt&&&&&&&&&&&\cr Elektrischer \(2l\)-Pol&&Y^m_{l+1},\ Y^m_{l-1}&&Y^{m\pm1}_{l+1},\ Y^{m\pm1}_{l-1}&& mY^m_l&&Y^{m\pm1}_l&&Y^m_l&&0\cr &height10pt&&&&&&&&&&&\cr \noalign{\hrule} &height10pt&&&&&&&&&&&\cr Magnetischer \(2l\)-Pol&&mY^m_l&&Y^{m\pm1}_l&&Y^m_{l+1},\ Y^m_{l-1}&& Y^{m\pm1}_{l+1},\ Y^{m\pm1}_{l-1}&&0&&Y^m_l\cr &height10pt&&&&&&&&&&&\cr \noalign{\hrule} }} Aus dieser an und für sich interessierenden Lösung, die wohl noch nicht allgemein gegeben wurde, lassen sich alle Eigenschaften des durch \(\mathfrak M= \dfrac1{c^2}[\mathfrak r,\mathfrak S]\) definierten Drehmomentes ableiten (\(\mathfrak r={}\)Radiusvektor vom Ursprung, \(\mathfrak S={}\)\textit{Poynting}scher Vektor). Dieses ist typisch für das zwischen der statischen und der Wellenzone gelegene Gebiet, worin \(\mathfrak S\sim\dfrac1{r^3}\). Für jede Eigenfunktion ist \(M_x=M_y=0\), \(M_z=m\dfrac U\nu\) (\(U={}\)Gesamtenergie). Führt man Lichtquanten ein, so setzt man in üblicher Weise \(U=n\cdot\hbar\cdot\nu\), also \(M_z=n\cdot m\cdot\hbar\). Führt man jetzt die Quantelung durch, so folgt, daß die Komponenten von \(\mathfrak M\) den aus der Atommechanik bekannten Vertauschungs-Relationen gehorchen; daher verhält sich ein von einem Multipol emittiertes Lichtquant in bezug auf sein Drehmoment wie ein Elektron in einem Zentralfeld ohne Spin. Die Erhaltung des Drehmomentes bei der Lichtemission wird durch die Auswahlregeln gewährleistet. Zum Schluß wird darauf hingewiesen, daß auch die Entwicklung nach ebenen Wellen ein Drehmoment liefert, wenn man nicht einen unendlichen Wellenzug, sondern ein Wellenpaket betrachtet, dessen Rand das Moment bedingt.