Einführung in das mathematische Denken. Die Begriffsbildung der modernen Mathematik. Mit einem Vorwort von K. Menger. (Q2610714)

Das Buch gibt eine Einführung in die Formen mathematischer Begriffsbildung sowie in die Probleme und Ergebnisse der Grundlagenforschung. Nach einem Überblick über den schulmäßigen anschaulichen Aufbau des Zahlsystems und über die ihm anhaftenden logischen Mängel wird, ausgehend von dem zunächst als gegeben hingenommenen System der natürlichen Zahlen, die Theorie der ganzen Zahlen als eine Arithmetik der geordneten Paare natürlicher Zahlen und die Theorie der rationalen Zahlen als eine Arithmetik der geordneten Paare ganzer Zahlen entwickelt. Danach wird das Problem einer strengeren Begründung der Arithmetik der natürlichen Zahlen selbst behandelt; hierbei erörtert Verf. insbesondere die formalistische und die logizistische Theorie sowie die neueren Versuche, die nicht eine Zurückführung der Arithmetik auf die Logik, sondern einen gemeinsamen widerspruchsfreien Aufbau von Mathematik und Logik zum Ziele haben. In diesem Zusammenhange wird auch \textit{Hilbert}s Idee der Metamathematik und die Bedeutung der \textit{Gödel}schen Resultate für die ganze Problemstellung kurz besprochen. -- Die Ideen des Intuitionismus werden an verschiedenen Stellen entsprechend ihrer Bedeutung in dem jeweiligen Zusammenhange gestreift. An diesen Überblick knüpfen sich kritische Betrachtungen. Bezüglich des Formalismus weist Verf. darauf hin, daß -- auch innerhalb der Mathematik -- den Zahlzeichen eine bestimmte Bedeutung zugeschrieben werde (``Es gibt 5 reguläre Körper''), so daß eine rein strukturelle Kennzeichnung des Systems der natürlichen Zahlen nicht ausreiche. Dies führt zur Forderung eines Einbaus der Arithmetik in eine umfassendere Gesamtsprache. Den logizistischen Versuch eines solchen Einbaus durch Reduktion der Arithmetik auf die Logik hält Verf. für nicht gelungen; seine Einwendungen richten sich einerseits gegen das Unendlichkeitsaxiom, das die Geltung der Arithmetik von empirischen Bedingungen abhängig mache, anderseits gegen die \textit{Frege-Russell}sche Definition der natürlichen Zahlen als Klassen von Klassen: diese Definition decke den Sprachgebrauch nur in einigen, nicht in allen Fällen. (Dieser Punkt seiner Kritik dürfte vielfach auf Widerspruch stoßen; auch \textit{K. Menger} macht in seiner Vorrede zu dem Buch bereits gewisse diesbezügliche Bedenken geltend.) -- Verf. legt dann kurz seine eigene Auffassung zur Grundlegungsfrage dar; er hat hierbei, wie er hervorhebt, aus unveröffentlichten Manuskripten \textit{L. Wittgenstein}s Anregungen geschöpft. Dieser Auffassung zufolge besteht ``die Mathematik weder aus empirischen Sätzen (\textit{Mill}), noch aus synthetischen Urteilen a priori (\textit{Kant}, \textit{Hamilton}, \textit{Poincaré}), noch aus analytischen Sätzen respektive Tautologien (\textit{Frege}, \textit{Russell}, \textit{Ramsey}, \textit{Hahn}, \textit{Carnap} u. a.)'', sondern sie enthält ``eine Reihe von deduktiven Systemen \dots, welche die Folgerungen aus willkürlich gewählten Voraussetzungen entwickeln. Die Logik ist nur einer dieser Kalküle\dots''. Demzufolge könne man ``die Arithmetik nur beschreiben, d. h. ihre Regeln angeben, nicht begründen''. -- Diese Auffassung sei eigentlich die axiomatische, die nur ergänzt werden müsse durch die Aufdeckung des Zusammenhanges zwischen den mathematischen Symbolen und den Wortbedeutungen der Umgangssprache; dieser Zusammenhang sei von der logischen Grammatik aufzudecken, die die Verwendung der Zahlworte und des Gleichheitszeichens innerhalb der Sprache in genaue Regeln zu fassen habe. -- Wenngleich der Verf. seine Anschauung ausdrücklich gegenüber derjenigen von \textit{Carnap} distanziert, so scheint sie mir der Sache nach doch recht eng verwandt zu sein mit der von \textit{Carnap} in ``Logische Syntax der Sprache'' (1934; JFM 60.0019.*) entwickelten Theorie. \textit{Carnap}s Begriff ``analytisch'' ist gerade eine präzise Fassung dessen, was Verf. als ``Folgerung aus willkürlichen Voraussetzungen'' bezeichnet; und die Auffassung des Verf. kann in der Terminologie der Syntax etwa so charakterisiert werden: Die Arithmetik enthält diejenigen aus Zahlzeichen und arithmetischen Verknüpfungszeichen aufgebauten Sätze, welche analytisch sind mit Bezug auf die syntaktischen Bestimmungen der Umgangssprache. (An manchen Stellen scheint Verf. der Auffassung zuzuneigen, daß die Formeln der Arithmetik \textit{nicht} als (analytische) \textit{Sätze der Objektsprache, sondern} als (syntaktische) \textit{Umformungsbestimmungen} für die Sätze der Objektsprache anzusehen seien. Wie \textit{Carnap} gezeigt hat (Erkenntnis 5 (1935), 30-37; JFM 61.0046.*), ist dies eine Darstellungsweise, die für das gesamte System der Mathematik und Logik durchführbar, aber in mancher Hinsicht nicht zweckmäßig ist.) Die weiteren Kapitel entwickeln einige Grundbegriffe der Analysis (``Limes'', ``Häufungspunkt'', ``Differentialquotient''); hieran schließt sich ein sehr instruktiver Überblick über ``Merkwürdige Kurven'' (\textit{v. Koch}sche Kurve; die eindeutige, stetige Abbildung der Einheitsstrecke auf ein Quadrat; Satz von der Invarianz der Dimensionszahl) mit einem Anhang ``Was ist Geometrie?'', in welchem die Grundgedanken von \textit{Kleins} Erlanger Programm dargestellt werden. Dann wird der strenge Aufbau der reellen Zahlen nach \textit{Cantor} und nach \textit{Dedekind} und die Einzigkeit des so gewonnenen Systems behandelt; endlich werden kurz die Gebiete der ``ultrareellen Zahlen'' (besonders der aktual unendlich kleinen Größen) und der komplexen und hyperkomplexen Größen betrachtet. Das Schlußkapitel behandelt die Frage, ob die Zahlen Schöpfungen des menschlichen Geistes oder unabhängig von uns bestehende Gebilde seien, die der Mathematiker nur entdecke; sie wird nach einer gründlichen, auf die Gedankengänge des ganzen Buches gestützten Diskussion im Sinne der ersten Alternative entschieden. Die Überlegungen, die Verf. in diesem Buche mit großem didaktischen Geschick entwickelt, heben stets das logisch Wesentliche heraus und begnügen sich nie mit bloßen Veranschaulichungen (dagegen werden zur Verdeutlichung mehrfach Beispiele aus der Geschichte der Mathematik herangezogen); das Buch ist als Einführung in die Grundlagenprobleme und in ein vertieftes Verständnis des modernen mathematischlogischen Denkens sehr geeignet. (III 1, IV 1.) Besprechungen: A. Fraenkel, Scripta math.; New York, 5 (1938), 124-126; C. H. Langford, J. symbolic Logic 2 (1937), 142-143; E. Nagel, J. Philos., New York, 34 (1937), 693-695.