Über Extremalaxiome. (Q2610753)

Unter einem \textit{Maximalaxiom} verstehen die Verf. ein Axiom, das -- wie z. B. das \textit{Hilbert}sche Vollständigkeitsaxiom -- den Gegenständen einer axiomatischen Theorie eine Maximaleigenschaft zuschreibt, indem es aussagt, daß es kein umfassenderes System von Dingen gibt, das ebenfalls die Axiome der Theorie erfüllt. Analog wird der Begriff des \textit{Minimalaxioms} eingeführt; Maximal- und Minimalaxiome werden als \textit{Extremalaxiome} zusammengefaßt. Nach einer verbreiteten Ansicht sind die Extremalaxiome von metamathematischem Charakter und können daher nicht in derselben Sprache wie die übrigen Axiome dargestellt werden. Die Verf. widerlegen diese Ansicht. Hierzu präzisieren sie zunächst die Fragestellung in einer Untersuchung über die Darstellung einer axiomatischen Theorie in streng formalisierten Sprachen, die den Satz- und Funktionenkalkül der Principia mathematica (nach Ausschaltung der verzweigten Typentheorie und gewissen anderen Vereinfachungen) enthalten. Axiome und ebenso \textit{Axiomensysteme} werden als Satzfunktionen in gewissen Grundvariablen (z. B. ``Null'', ``Zahl'', ``Nachfolger'' im \textit{Peano}schen Axiomensystem der Arithmetik) von jeweils ausdrücklich festzulegendem Typus dargestellt; ist `\(M_1\)' Abkürzung für eine Reihe von Konstanten der zur Darstellung verwendeten (sogenannten Objekt-)Sprache, so wird \(M_1\) ein \textit{Modell} des Axiomensystems `\(F_1\,(M)\)' genannt, wenn der Satz `\(F_1\,(M_1)\)' analytisch ist. Einen der wichtigsten Hilfsbegriffe der Untersuchung entwickeln die Verf. durch \textit{eine wesentliche Verallgemeinerung} des \textit{Isomorphiebegriffes}. Hierzu dehnen sie diesen Begriff zunächst in naheliegender Weise auf mehrstellige Prädikate und auf Reihen von solchen aus; von hier führt eine zweite Erweiterung zu dem Begriff der \textit{vollständigen Isomorphie} (``Ism\(_{\text{v}}\)''), dessen komplizierte Definition hier nicht angegeben werden kann. Er fällt für Prädikate erster Stufe mit dem durch die erste Erweiterung erreichten Isomorphiebegriff zusammen und verlangt bei Prädikaten höherer Stufe darüber hinaus eine gewisse strukturelle Übereinstimmung der einander zugeordneten Feldelemente (die ja von mindestens erster Stufe sind) der isomorphen Prädikate und evtl. der Feldelemente dieser Feldelemente usf. Der Begriff der (vollständigen) Isomorphie führt durch eine Verallgemeinerung der logistischen Abstraktionsklassenbildung zur Definition der \textit{Struktur eines Modells}; diese ermöglicht den Verf. auch die Einführung des sehr instruktiven \textit{Strukturbildes eines Axiomensystems}, das einen Überblick über die Struktur der verschiedenen Modelle des Axiomensystems gibt. Für Maximal- (und analog für Minimal-) Axiome, wie sie in der Umgangssprache formuliert werden, lassen sich nun zwei Interpretationsmöglichkeiten unterscheiden, von denen die erste eine ``\textit{Modellerweiterung}'', die zweite eine ``\textit{Strukturerweiterung}'' ausschließt. Das zu einer Satzfunktion \('F\,(M)'\) gehörige \textit{Maximalmodellaxiom} lautet: ``\(\sim (\exists N)\; (M \subset N \cdot M \neq N \cdot F\,(N))\)''; das entsprechende \textit{Maximalstrukturaxiom} ``\(\sim (\exists N)\; (M \subset N \cdot \sim \text{Ism}_{\text{v}} (M, \,N) \cdot F \,(N))\)''. Damit ist eine Darstellung der Extremalaxiome in der formalisierten Objektsprache erreicht. - Die Verf. studieren dann den Fall, daß in einem Axiomensystem ein Extremalaxiom auftritt, das sich nicht auf alle von ihm verschiedenen Axiome des Systems, sondern auf ganz beliebige Satzfunktionen bezieht; unter den letzteren kann sogar die Negation gewisser Axiome des Systems vorkommen -- eine Möglichkeit, die bei Unabhängigkeitsuntersuchungen von Bedeutung ist. Zum Schluß erörtern die Verf. eine Schwierigkeit, die sich daraus ergibt, daß ihre Interpretation der Extremalaxiome nur solche Erweiterungen eines Modells ausschließt, die logisch stufengleich mit dem ursprünglichen Modell sind, eine Beschränkung, die in der inhaltlichen Fassung der Extremalaxiome nicht notwendig enthalten ist. Es werden zwei Möglichkeiten der Überwindung dieser Schwierigkeit skizziert, von denen die zweite, die als befriedigender bezeichnet wird, in der Wahl einer von den Principia mathematica wesentlich abweichenden Form der Objektsprache besteht, in der an die Stelle einer starren Typeneinteilung die Verwendung von ``\textit{typusbeweglichen}'' Variablen und logischen Konstanten tritt; der strenge Aufbau einer für die Aufstellung von Axiomensystemen geeigneten Sprache dieser Art sei bisher noch nicht restlos durchgeführt.