The complete equation of state of one, two and three-dimensional gases of hard elastic spheres. (Q2610939)

Nach kurzer Darlegung der Zustandsgleichung eines zweidimensionalen Gases bei kleinen Konzentrationen, die das \textit{Clausius}sche Virial heranzieht, wird das Verhalten dichter Gase behandelt, ausgehend vom eindimensionalen Fall. Das benutzte einfache Gasmodell ``klassischer'' harter elastischer Kugeln \(A_1\), \(A_2\), \dots, \(A_N\) endlichen Durchmessers \(\sigma\), die sich auf einer Geraden der Länge \(l\) bewegen (Orte: \(x_1,x_2,\dots,x_N\)), ist mathematisch äquivalent ebenso vielen Punkten, die von einer ``verbotenen'' Kugel vom Durchmesser (eindimensional: Verbotsstrecke) \(\sigma\) umgeben sind. Die Bedingungen \(\dfrac\sigma2\leqq x_k\leqq l\dfrac\sigma2\), \(|x_k-x_j|\geqq\sigma\) grenzen im Phasenraum \(N!\) voneinander getrennte Verbotsgebiete ab. Sind die Phasenpunkte zufällig verteilt, bezeichnet \(\varrho\) die Dichte einer großen Zahl aufeinanderfolgender Lagen des Phasenpunktes, so ist deren Gesamtzahl \[ MN=\varrho\cdot\int\limits_{(2N-1)\frac\sigma2}^{l-\frac\sigma2} \cdots\int\limits_{\frac{3\sigma}2}^{x_3-\sigma} \int\limits_{\frac\sigma2}^{x_2-\sigma}dx_1dx_2\ldots dx_N= \frac{\varrho(l-N\cdot\sigma)^N}{N!} \] und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(x_N\): \(P(x_N)dx_N=\varrho_{N-1}\dfrac {dx_N}{M_N}\). Ist die Begrenzung bei \(l\) ein festes Atom \(\left(\text{Mittelpunkt: }l+\dfrac\sigma2\)