Quelques points essentiels de la métamathématique. (Q2611324)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Untersuchung von Widerspruchsfreiheitsbeweisen. Die Frage der Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems wird häufig durch Angabe eines arithmetischen Modells auf die Frage der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik zurückgeführt; dies trifft z. B. im Falle der Geometrie zu. Unter Benutzung eines Satzes von \textit{Herbrand} zeigt Verf., daß für solche Axiomensysteme, die sich mit den Mitteln des elementaren Funktionenkalküls darstellen lassen, die Widerspruchsfreiheit bereits durch Angabe eines arithmetischen Modells gesichert werden kann, ohne daß dabei die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik als erwiesen vorausgesetzt werden muß. Verf. behandelt dann die Möglichkeit der Erbringung eines Widerspruchsfreiheitsbeweises für die Arithmetik selbst und gibt zunächst eine Darstellung der \textit{Gödel}schen Theorie, welche zu dem Ergebnis führt, daß, falls es in einem widerspruchsfreien Kalkül eine Formel gibt, die die Widerspruchsfreiheit dieses Kalküls besagt, diese Formel in diesem Kalkül unentscheidbar sein muß. Da nun in der Tat die Arithmetik eine derartige Formel enthält, so ist damit gezeigt, daß sich die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik gewiß nicht mit den in ihr selbst formalisierten Mitteln, sondern höchstens in einem geeignet erweiterten Kalkül beweisen läßt. Für die elementare Arithmetik gibt nun Verf. eine derartige Erweiterung an, die noch keine Abweichung von \textit{Hilbert}s ``finitem Standpunkt'' darstellt und sich im Rahmen des intuitionistisch Zulässigen hält, in welcher der Widerspruchsfreiheitsbeweis der elementaren Arithmetik wirklich erbracht werden kann. Verf. gibt am Schluß seiner Zuversicht Ausdruck, daß sich durch eine entsprechende Erweiterung des Kalküls auch die gesamte Analysis als widerspruchsfrei werde erweisen lassen.