Determinantenfreie Gleichungstheorie. (Q2611387)

Anstatt sämtliche Gleichungen eines Systems linearer Gleichungen mit passenden Konstanten zu multiplizieren, um eine Unbekannte herauszuschälen, was zur Einführung der Determinanten Anlaß gibt, verwendet Verf. die Methode der \textit{sukzessiven Elimination}. Drückt man in einer Gleichung eine Unbekannte durch die anderen aus und setzt sie in die anderen Gleichungen ein, so kommt in dem neuen System diese Unbekannte nur noch in einer Gleichung vor. Verfährt man hier in den anderen Gleichungen mit einer zweiten Unbekannten ebenso, und in dem so gewonnenen System mit einer dritten Unbekannten usw., so wird man bei passender Numerierung der Unbekannten auf das folgende System geführt: \[ \begin{aligned} x_1+c_{12}x_2+ \cdots c_{1r}x_r + \cdots + c_{1n}x_n&= d_1, \\ x_2+ \cdots c_{2r}x_r + \cdots + c_{2n}x_n&= d_2 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots&\cdots \cdot \tag{1} \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdot \\ x_r + \cdots + c_{rn}x_n&= d_r, \\ \end{aligned} \] wo die Anzahl \(r\) höchstens so groß ist, wie die Anzahl \(m\) der gegebenen Gleichungen. Faßt man weiter im gegebenen System die Koeffizienten der einzelnen Gleichungen zu Vektoren zusammen, so wird der Rang des Gleichungssystems als die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren definiert. Sodann wird gezeigt, daß der so eingeführte Rang gleich der Anzahl \(r\) der Gleichungen (1) ist, die dem zugehörigen homogenen System entsprechen. Unter mehrfacher Benutzung gerade dieser Tatsache zeigt es sich, daß sich alle Sätze ebenso aussprechen lassen, wie wenn der Rang von der Determinante her eingeführt wäre. Man bemerkt aber, daß es jetzt eines Beweises bedarf, daß der Rang eines Systems gleich dem Rang des transponierten Systems ist. Für den inhomogenen Fall werden die erweiterten Zeilenvektoren \(\{a_{i1}\), \(a_{i2}\), \dots, \(a_{in}\), \(b_i\}\) eingeführt, wodurch die folgende Formulierung ermöglicht wird: Ein inhomogenes Gleichungssystem ist dann und nur dann lösbar, wenn der Rang \(r\) mit \(r^*\), der Maximalzahl der linear unabhängigen erweiterten Zeilenvektoren, übereinstimmt. Damit sind, abgesehen von der expliziten Form der Lösungen selbst, alle anderen Sätze auch einem Schüler zugänglich, der die Determinanten nicht kennt. (I 2.)