On representatives of subsets. (Q2611401)

\(\mathfrak T_1\), \(\mathfrak T_2\), \dots, \(\mathfrak T_m\) seien \(m\) Untermengen einer gegebenen Menge \(\mathfrak S\). Ein System von verschiedenen Elementen \(a_1\), \(a_2\), \dots, \(a_m\), so daß \(a_i \in \mathfrak T_i\) für \(i = 1, \ldots, m\), heißt ein vollständiges System von verschiedenen Repräsentanten für die Untermengen \(\mathfrak T_i\). Notwendig und hinreichend für die Existenz eines solchen Systems ist, daß für \(k = 1, \ldots, m\) je \(k\) der Untermengen mindestens \(k\) von einander verschiedene Elemente enthalten. Der einfache Beweis benutzt, daß, falls der Durchschnitt aller dieser Repräsentantensysteme \(a_1'\), \(a_2'\), \dots, \(a_\varrho'\) mit \(a_i'\in \mathfrak T_i\) ist, die Mengen \(\mathfrak T_1\), \(\mathfrak T_2\), \dots, \(\mathfrak T_\varrho\) gemeinsam genau \(\varrho\) Elemente enthalten. -- Ist \(\mathfrak S\) die Vereinigungsmenge von zu je zwei elementefremden Untermengen \(\mathfrak S_1\), \(\mathfrak S_2\), \dots und enthalten \(k\) Mengen \(\mathfrak T_i\) gemeinsam Elemente von mindestens \(k\) Mengen \(\mathfrak S_\nu\), so kann man für \(\mathfrak T_1\), \(\mathfrak T_2\), \dots, \(\mathfrak T_m\) ein vollständiges Repräsentantensystem von verschiedenen Elementen \(a_1\), \(a_2\), \dots, \(a_m\) angeben, so daß nicht zwei in derselben Menge \(\mathfrak S_\nu\) sind. Durch Spezialisierung ergibt sich daraus z. B. ein Satz von \textit{R. Rado} (Bemerkungen zur Kombinatorik im Anschluß an Untersuchungen von Herrn \textit{D. König}, Sitzungsberichte B. M. G. 32 (1933), 60-75; JFM 59.0001.*).