A useful expansion in application of determinants. (Q2611403)

Die Reihenentwicklung von \textit{F. Schweins} (1825; vgl. \textit{T. Muir}, Contributions to the history of determinants, vol. I (1930; JFM 56.0005.*), p. 171-172) für den Quotienten zweier Determinanten wird in einem Spezialfall besonders bewiesen. Es wird die Abkürzung \[ |a_1 \;b_2 \;c_3 \;d_4|=\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \\ \end{matrix} \right| \quad \text{benutzt}. \] Dann lautet die Entwicklung: \[ \frac{|a_1 \;b_2 \;c_3 \;d_4|}{|b_2 \;c_3 \;d_4|} = a_1- \frac {a_2\cdot b_1}{1\cdot b_2} - \frac{|a_2 \;b_3|\,|b_1 \;c_2|}{b_2\cdot |b_2 \;c_3|} - \frac{|a_2 \;b_3 \;c_4|\,|b_1 \;c_2 \;d_3|}{|b_2 \;c_3|\,|b_2 \;c_3 \;d_4|}. \] (Ist links der Zähler 0, so ergibt sich eine Darstellung für \(a_1\)) Der geführte Beweis läßt sich leicht verallgemeinern. Dann werden Anwendungen erörtert (auch für \(n > 4\)): 1. Die Interpolationsaufgabe: Gegeben \(n+ 1\) Werte an \(n+ 1\) Stellen, gesucht eine Funktion \(n\)-ten Grades, die dort diese Werte annimmt. Hier muß eine Determinante verschwinden, so daß die oben für \(a_1\) genannte Entwicklung anwendbar wird. An der Stelle steht gerade \(f(x)\). Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält man eine zweite Darstellung von \(f(x)\). Die erste ist die von Newton, die zweite die von Lagrange. 2. Eine quadratische Form kann man als Quotienten zweier Determinanten schreiben. Wendet man hier die Entwicklung an, so erhält man die Reduktion auf eine Summe von Quadraten. 3. Auch für die Approximation im Mittel einer Funktion durch ein Polynom vorgeschriebenen Grades kann wegen Verschwindens einer Determinante sofort eine Darstellung für \(f(x)\) gewonnen werden.