On the reduction of singular matrix pencils. (Q2611422)

Verf. behandelt in analoger Weise, wie in dem Buche ``An introduction to the theory of canonical matrices'' (von Verf. und \textit{A. L. Aitken}, 1932; F. d. M. 58) den nichtsingulären, hier den singulären Fall von Matrizenbüscheln. Ist \[ \varLambda = Ar + Bs \] ein quadratisches oder rechteckiges Matrizenbüschel mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper \(\mathfrak K\) und unabhängigen Veränderlichen, so handelt es sich um die Reduktion des Büschels auf eine kanonische Form \(P\varLambda Q\) mit nichtsingulären konstanten Matrizen \(P\), \(Q\), deren Koeffizienten gleichfalls dem Körper \(\mathfrak K\) angehören. Hat \(\varLambda\) \(n\) Reihen und \(n'\) Spalten, ist \(\varrho\) der Rang von \(\varLambda\) in \(r\), \(s\), so seien \(\mu\), \(\mu'\) bestimmt durch: \[ \mu=n - \varrho \geqq 0, \quad \mu' = n' - \varrho \geqq 0. \] Man kann dann genau \(\mu\) bzw. \(\mu'\) Bedingungen der Form \[ \vartheta \varLambda = 0 \quad \text{bzw.} \quad \varLambda\vartheta' = 0 \] angeben, wobei \(\vartheta\), \(\vartheta'\) Reihen- bzw. Spaltenvektoren bedeuten, deren Komponenten homogene Polynome in \(x\), \(s\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak K\) gleichen Grades sind. Die Grade \(m_1\), \(m_2\), \dots, \(m_\mu\) bzw. \(m_1'\), \(m_2'\), \dots, \(m_\mu'\) sind die \textit{Kronecker}schen Minimalindices; diese zusammen mit den Elementarteilern bilden ein vollständiges Invariantensystem für das obige Problem. Die kleinsten Grade \(m\), \(m'\) können nach einem vom Verf. angegebenen Verfahren berechnet werden; mit Hilfe der Polynomvektoren kann dann auch die Reduktion auf die kanonische Form durchgeführt werden.