Sulle soluzioni multiple delle equazioni algebriche. (Q2611454)

Verf. stellt ein Kriterium dafür auf, wann ein Polynom \[ f(x) = \sum_{h=0}^n c_hx^{n-h} \] eine \(r\)-fache Wurzel hat. Er geht aus von der Bedingung \[ f' =0, \;\ldots, f^{(r-1)}=0 \] und leitet daraus die andere \[ \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} = 0, \;\frac{\partial \varphi}{\partial x_2} = 0; \;\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1^2} = 0, \ldots, \frac{\partial^\varrho \varphi}{\partial x_1^\varrho} = 0, \ldots, \frac{\partial^{r-1}\varphi}{\partial x_1^{r-1}} = 0 \] mit Hilfe des Satzes von \textit{Euler} ab, wo \[ \varphi=\sum_{h=0}^n c_h x_1^{n-h}x_2^h \] ist. Wieder mit Hilfe des \textit{Eulers}chen Satzes können dann \(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_1} = 0\) und \(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_2} = 0\) durch \(\dfrac{\partial^2\varphi} {\partial x_1\partial x_2} = 0\) und \(\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x_2^2} = 0\) ersetzt werden. So entsteht durch Fortfahren die Regel.