Über das Verhalten der Potenzsummen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung hinsichtlich ihrer Gruppe. (Q2611463)

Verf. bringt einen kurzen Beweis für den früher (\textit{U. Wegner}, Über ein algebraisches Problem, Math. Ann. 105 (1931), 779-785; JFM 57.0126.*) von ihm bewiesenen Satz: Ist \(f(x) = 0\) eine ganzzahlige normierte Gleichung und \(p\) eine nicht in ihrer Diskriminante aufgehende Primzahl, so ist das kleinste gemeinsame Vielfache \(m\) der Grade der mod \(p\) irreduziblen Faktoren von \(f(x)\) gleich dem kleinsten Exponenten der Kongruenz \[ p^m \equiv 1\pmod P; \] dabei ist \(P\) die Periode der Potenzsummen \(s_0\), \(s_1\), \(s_2\), \dots der Wurzeln von \(f(x) = 0\), die im Falle, daß \(p\) nicht im absoluten Gliede von \(f(x)\) aufgeht, stets vorhanden ist. Es wird \[ f(x)=x^n + a_1x^{n-1}+ \cdots + a_n \] gesetzt und \(p \nmid a_n\) angenommen, \(f'(x) \equiv 0\) wird angenommen (etwa \(p > n\), was später gebraucht wird). Benutzt wird die Existenz einer Periode \(P\) in den \(s_0\), \(s_1\), \(s_2\), \dots und die Darstellung \[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{s_0}x + \frac{s_1}{x^2} + \frac{s_2}{x^3} + \cdots. \] Daraus wird die Kongruenz: \[ (x^P-1)f'(x) \equiv f(x)K(x) \pmod p \tag{1} \] mit \[ K(x) = s_0x^{P-1} + s_1x^{P-2} + \cdots + s_{P-1} \] gewonnen. Der genannte Satz ergibt sich dann durch Vergleichen dieses Ergebnisses mit dem bekannten Satz: \(x^{p^m} - x\) ist das Produkt aller mod \(p\) irreduziblen Polynome eines Grades \(d|m\). Zugleich ergeben sich folgende Resultate: Für jede Wurzel \(\gamma\) von \(f(x) = 0\) ist \[ \gamma^{P\cdot p} \equiv 1 \pmod p. \] Ist \(p\) kein Teiler der Gleichungsdiskriminante, so folgt aus (1) \[ \gamma^P \equiv 1 \pmod p. \] Für \(p > n\) ist \[ \left((-1)^na_n\right)^P \equiv 1 \pmod p. \] Ist \(P_\beta\) die Periode der Potenzsummen mod \(p^\beta\) (\(\beta > 1)\), so ist \(P_\beta = p^{\varepsilon P}\). Verbindung des erstgenannten Satzes mit bekannten Tatsachen über Trägheits- und Zerlegungsgruppe liefert den Satz: Es sei \(f(x)\) ein ganzzahliges normiertes rational irreduzibles Polynom und \(p > n\) eine Primzahl, \(p \nmid a_n\). Ist dann \(m\) die kleinste Zahl, für die \(p^m \equiv 1\) (mod \(P\)) ist, so ist \(m\) ein Teiler der Ordnung der galoisschen Gruppe von \(f(x)\) über dem Bereich der rationalen Zahlen. (III 7.)