A basis for residual polynomials in \(n\) variables. (Q2611470)

Verf. nennt ein Polynom \(f(x_1,\ldots, x_n)\) mit ganzzahligen Koeffizienten ein ``residual polynomial mod \(m\)'', wenn \(f(x_1,\ldots, x_n)\equiv 0\) (mod \(m\)) für sämtliche ganzzahligen Werte von \(x_1,\ldots, x_n\) gilt. Mittels einer Methode von \textit{Dickson} (Introduction in the theory of numbers (1929; JFM 55.0092.*), p. 26, theor. 28) wird u. a. folgender Basissatz bewiesen: ``Every residual polynominal \(f(x_1,\ldots, x_n)\) mod \(m\) is a sum of products of \(m\) and functions \(\bigl( m/(d_{i_1}\ldots d_{i_n})\bigr) \,\varPi _1\,\bigl(\mu (d_{i_1})\bigr) \ldots \varPi _n\,\bigl(\mu (d_{i_n})\bigr)\) by polynomials in \(x_1,\ldots, x_n\) with integral coefficients where the \(d_{i_j}\) are divisors of \(m\), at least one of the \(d_{i_1}, \ldots,d_{i_n}\) belongs to the set \(d_1, \ldots,d_s\), and the product \(d_{i_1} \ldots d_{i_n}\) divides \(m\).'' Die hier vorkommenden Symbole haben die folgende Bedeutung: (1) \(\varPi (\mu ) =x (x-1)\ldots (x-\mu +1)\). (2) \(\mu (d)\) ist die kleinste natürliche Zahl, für die \([\mu (d)]!\) durch \(d\) teilbar ist. (3) \(d_1,\ldots,d_s\) sind Teiler von \(m\), die auf folgende Weise erhalten werden: Man rechne irgend zwei von 1 verschiedene Teiler \(d^{(\varkappa )}\) und \(d^{(\lambda )}\) von \(m\) zur selben Klasse, falls \(\mu (d^{(\varkappa )})=\mu (d^{(\lambda )})\), dagegen zu zwei verschiedenen Klassen, falls \(\mu (d^{(\varkappa )})\neq \mu (d^{(\lambda )})\). Alle Teiler von \(m\) zerfallen so in \(s\) elementfremde Klassen. \(d_1,\ldots,d_s\) ist dann dasjenige wohlbestimmte System von Teilern, das sich ergibt, wenn man aus jeder dieser Klassen die größte Zahl auswählt. (III 5 B.)