Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring. (Q2611522)

Gegenstand der Untersuchung ist die freie Gruppe \(F\) und ihre ``absteigende Zentralreihe'', die für jede Gruppe \(G = G_1\) aus den \textit{Reidemeister}schen ``höheren Kommutatorgruppen'' \(G_n\) besteht, wo \(G_n\) aus den Kommutatoren der Elemente von \(G_{n-1}\) mit beliebigen Elementen von \(G\) besteht, so daß \(G/G_n\) die maximale Faktorgruppe ist, für die \(G_{n-1}/G_n\) noch in ihrem Zentrum liegt. Wie die Kommutatorreihe (iterierte Kommutatorbildung; maximale abelsche Schritte) der freien Gruppe nach \textit{Levi} (Math. Z. 37 (1933), 90-97; JFM 59.0142.*) eine unendliche Kette mit dem Durchschnitt \(E\) bildet, so tut es auch, wie hier vor allem gezeigt wird, ihre absteigende Zentralreihe. Um eine schärfere Übersicht zu bekommen, wird \(F\) in einen ``freien Gruppenring'' \(\mathfrak R\) eingebettet, und die Gruppenerzeugenden werden in der Form \(1+s_i\) mit Inversen \(\sum (-1)^n s_i^n\) dargestellt, wodurch jedem Gruppenelement \(g = 1+\sum\prod s_i\) eine Dimension \(d\) zugeordnet wird als kleinster auftretender Gesamtgrad unter den Summanden der Entwicklung von \(g-1\). Beim Kommutator von \(1+s_i\) mit \(1+s_k\) beginnt diese Entwicklung mit \(s_is_k -s_ks_i\); bei höheren Kommutatorbildungen treten entsprechend höhere Differenzbildungen auf, aus denen sich die Entwicklungen der \textit{Gruppen}elemente überhaupt zusammensetzen. Die Elemente einer Dimension \(\geqq n\) bilden in \(F\) eine charakteristische Untergruppe, die ``\(n\)-te Dimensionsgruppe'' \(F^{(n)}\) (also \(F^{(1)}=F\)). Sie ist sogar vollinvariant, d. h. mit einem Potenzprodukt der Erzeugenden liegt auch das entsprechende Potenzprodukt beliebiger Elemente aus \(F\) in \(F^{(n)}.\,F^{(2)}\) ist die Kommutatorgruppe, und vermutlich bilden die \(F^{(n)}\) die absteigende Zentralreihe; jedenfalls liegt \(F_n\) in \(F^{(n)}\) aber nicht in \(F^{(n+1)}\). Eine zweite Darstellung von \(F\) (und \(\mathfrak R\)) wird durch unendliche Matrizen in den kommutativen Variablenreihen \(\alpha _1,\alpha _2,\ldots \); \(\beta _1, \beta _2, \ldots \); \(\ldots \) mit den Erzeugenden \[ \left(\begin{matrix} \l&\;\l&\;\l&\;\l&\;\l\\ 1&\alpha _1&0&0&.\;.\;.\\ 0&1&\alpha _2&0&.\;.\;.\\ 0&0&1&\alpha _3&.\;.\;.\\ .&.\;.&.\;.&.\;.&.\;.\;.\;\end{matrix}\right),\quad \left(\begin{matrix} \l&\;\l&\;\l&\;\l&\;\l\\ 1&\beta _1&0&0&.\;.\;.\\ 0&1&\beta _2&0&.\;.\;.\\ 0&0&1&\beta _3&.\;.\;.\\ .&.\;.&.\;.&.\;.&.\;.\;.\;\end{matrix}\right),\ldots \] gegeben, die eindeutige Inverse besitzen. Die erste Zeile gibt dabei obige Entwicklung \(g=1+\sum\prod s_i\) in \(\mathfrak R\) vollständig an: ersetzt man die \(\alpha \) durch \(s_1\), \(\beta \) durch \(s_2,\ldots \) und multipliziert sie in der Reihenfolge, die die Indices der \(\alpha,\beta,\ldots \) angeben, so steht als \((n + 1)\)-tes Element die Summe der Glieder \(n\)-ter Dimension der Entwicklung von \(g\) da. Die \(n\)-ten Abschnitte der Matrizen bilden eine zu \(F/F^{(n)}\) isomorphe Gruppe (man setze \(\alpha _n=\beta _n= 0\)). Aus beiden Darstellungen werden Isomorphiekriterien für Gruppen gewonnen und durch Beispiele erläutert. Insbesondere wird gezeigt, daß eine freie Gruppe mit endlich viel Erzeugenden keiner ihrer echten Faktorgruppen isomorph ist (Problem von \textit{H. Hopf}). Ferner gilt für endliche Gruppen \(G\) als Faktorgruppen der \(F\), daß sie dann und nur dann direkte Produkte von Primärgruppen sind, wenn die Reihe ihrer Dimensionsgruppen \(G^{(n)}\) mit \(E\) endigt, entsprechend dem \textit{Burnside}schen Resultat für die \(G_n\). Schließlich wird gezeigt, was für das Klassenkörperturmproblem von Interesse ist, daß es bei gegebener maximaler abelscher Faktorgruppe bereits für den Typ (3, 3, 3) beliebig hochstufige Aufspaltungen (d. h. mit beliebig langer Kommutatorreihe) von Dreierpotenzordnung gibt. Das besagt noch nicht, daß sich solche Gruppen zu einer abbrechenden Faktorgruppenkette verschmelzen lassen.