Zur topologischen Algebra. II: Abstrakte \(\mathfrak b _\nu \)-adisehe Ringe. (Q2611549)

Als Anwendung seiner Komplettierungstheorie (zur topologischen Algebra, I; Math. Ann. 107 (1932), 587-626; F. d. M. 58) behandelt Verf. hier die sogenannten \(\mathfrak b _\nu \)-adischen Ringe; ein Teil der Ergebnisse findet sich bereits in des Verf. Diss. (Groningen 1931; F. d. M. 57). In einem topologischen (speziell in einem abzählbaren diskreten) Ring \(\mathfrak R\) wird eine Folge offener Ideale \(\mathfrak b _\nu \) betrachtet mit \(\mathfrak b _\nu \supset\mathfrak b _{\nu +1}\) und Durchschnitt \((\mathfrak b _\nu )\) leer. Die Restklassen der \(\mathfrak b _\nu \) werden zu Umgebungen ernannt und \(\mathfrak R\) wird komplettiert; so entsteht der \(\mathfrak b _\nu \)-adische Ring \(\tilde \mathfrak R\) über \(\mathfrak R\). Ist \(\mathfrak R\) diskret, so ist \(\tilde\mathfrak R\) nulldimensional. Betrachtet man z. B. den Ring \(\mathfrak R\) der ganzen Zahlen und als \(\mathfrak b _\nu \) das Ideal \((p^\nu )\), so erhält man die \(p\)-adischen Zahlen: allgemeiner über einem beliebigen diskreten Ring den \(\mathfrak p\)-adischen Ring, wenn man \(\mathfrak b _\nu =\mathfrak p^\nu \) setzt (\(\mathfrak p\) = Primideal). Jeder \(\mathfrak b _\nu \)-adische Ring mit endlichem \(\mathfrak R/\mathfrak b _\nu \) ist cantorsch, und umgekehrt. Für einen kommutativen diskreten Ring \(\mathfrak R\) mit Eins, in dem der Teilerkettensatz gilt, und in dem die größten primären Komponenten der \(\mathfrak b _\nu \) (für jedes feste \(\nu \)) teilerfremd sind, insbesondere also für jeden cantorschen Ring, beweist Verf. die \textit{direkte (additive) Zerlegbarkeit in primitive Ringe} (d. h. die zugehörigen \(\mathfrak b _\nu \) sind primär und gehören zum selben Primideal \(\mathfrak p\)); aus diesem Satz folgt eine analoge multiplikative Zerlegbarkeit. Weiter untersucht Verf. \textit{derartige primitive Ringe} und beweist einen \textit{Entwicklungssatz} (unter der Voraussetzung, daß \(\mathfrak p\) ein teilerloses Primideal ist, was in cantorschen Ringen sicher gilt): Ist \(\varSigma \) ein vollständiges Restsystem mod \(\mathfrak p\) und \(q_\nu \equiv 0\) mod \(\mathfrak b _\nu \), \(\not \equiv 0\) mod \(\mathfrak b _{\nu +1}\), so gibt es zu jedem Element aus \(\mathfrak R\) eine eindeutig bestimmte Entwicklung \(\varSigma \xi _\nu q_\nu \), \(\xi _\nu \subset \varSigma \). Sind die \(\mathfrak b _\nu \) Potenzen von \(\mathfrak p\), so kann man die Entwicklung auf die Form \(\varSigma \xi _\nu \pi ^\nu \) bringen. Ein solcher \(\mathfrak p\)-adischer Ring ist, falls noch \(\mathfrak p^n\neq (0)\) gilt, nullteilerfrei und von der Eigenschaft, daß jedes Ideal Hauptideal ist.