Bemerkungen über die Struktur von Ringen, die aus Polynomen in einer Variabeln bestehen. (Q2611554)

Verf. gibt eine interessante Lösung des Strukturproblems im Fall einer Variablen, mit dem ausdrücklichen Hinweis darauf, daß im Fall mehrerer Variablen die Methode nicht ausreicht. Unter den Ringen aus Polynomen in einer Variablen mit Koeffizienten aus einem Körper \(K\) spielen diejenigen eine führende Rolle -- das ist ein Hauptergebnis --, in welchen ein Polynom \(\varPhi (x)\) niedrigsten Grades existiert, der ``Führer'' des Ringes, mit der Eigenschaft, daß jedes durch \(\varPhi (x)\) teilbare Polynom mit Koeffizienten aus \(K\) im Ring liegt, so daß also letzterer aus Restklassen mod \(\varPhi (x)\) besteht. Das Führerpolynom ist bis auf einen konstanten Faktor aus K eindeutig bestimmt. Diese Art von Ringen nennt Verf. Kongruenzringe. Für sie ist charakteristisch, daß die Variable \(x\) im Quotientenkörper \(\mathfrak R/\mathfrak R\) liegt. Alle übrigen Ringe \(\bar\mathfrak R\), die nicht Kongruenzringe sind, lassen sich nun so charakterisieren: In \(\bar\mathfrak R\) möge \(f (x)\) ein Polynom niedrigsten Grades sein, das im Quotientenkörper \(\bar\mathfrak R/\bar\mathfrak R\) liegt. Dann ist jedes Polynom \(F (x)\) aus \(\bar\mathfrak R\) nichts anderes als ein Polynom \(F^*\bigl(f(x)\bigr)\) in \(f (x)\). Interessant ist auch der Zusammenhang zwischen den Führerpolynom \(\varPhi (x)\) und der Beziehung \(x = Q (x) : P (x)\), wo \(Q\) und \(P\) Polynome aus \(\mathfrak R\) sind. Es ist nämlich \(\varPhi (x)\) stets ein Teiler von \(p^{n-1}(x)\), wo \(n\) der Grad des Führers ist; und zwar kann \(\varPhi (x)\), wie Beispiele zeigen, sowohl \(P^1\) als auch \(P^{n-1}\) sein, so daß also die Teilbarkeitsaussage sicher nicht allgemein verschärft werden kann. Der Beweis mit seinen teilweise für sich allein bemerkenswerten Nebenresultaten, stützt sich wesentlich auf eine neue Verschärfung eines \textit{Lüroth}schen Satzes (diesbez. vgl. \textit{v. d. Waerden}), Moderne Algebra I (1930; JFM 56.0138.*), S. 126). Der letzte Abschnitt befaßt sich mit der \textit{Anzahl} der Elemente einer Integritätsbasis eines Polynom rings. Daß sie stets endlich ist, war bekannt; neu ist, daß speziell bei Kongruenzringen die Gradzahl \(n\) des Führerpolynoms entscheidend ist, insofern als man nämlich stets mit \(n\) oder weniger Polynomen als Basis auskommt. Schließlich wird noch die verfeinerte Frage nach der Existenz einer \textit{ganzzahligen} Integritätsbasis bei einer besonderen Klasse von Ringen angeschnitten, und am Beispiel gezeigt, daß die Gesamtheit aller ganzzahligen Polynome, die in gewissen Polynomringen enthalten sind, \textit{nicht stets} eine endliche ganzzahlige Integritätsbasis besitzen.