Die Diskriminante einer normalen einfachen Algebra. (Q2611564)

Die Diskriminante einer normalen einfachen Algebra \(A\) vom Grade \(N\) über einem endlichen algebraischen Zahlkörper \(\varOmega \), von \textit{Shoda} (Diskriminantensatz für normale einfache hyperkomplexe Systeme, Proc. Acad. Tokyo 10 (1934), 315-317; F. d. M. 60\(_{\text{II}}\)) nur für den Fall der Existenz einer Minimalbasis definiert und zwar als \(N^2\)-te Potenz der hier angegebenen, wird hier so definiert: \[ \varDelta (a_1,\ldots,a_{N^2}) = |\,S(a_\varkappa a_\lambda )\,| \] heiße die Diskriminante der \(N^2\) Elemente \(a_\lambda \) aus \(A\), und der größte gemeinsame Teiler aller \(\varDelta \) bei beliebig ganzzahligen \(a_\lambda \) heiße die Diskriminante von \(A\). Eine passende endliche Auswahl der \(\varDelta \) genügt zur Bildung der Diskriminante, wie weiter gezeigt wird. Aus der im folgenden durchgeführten Primidealzerlegung der Diskriminante ergibt sich das Zerlegungsgesetz der Primideale von \(\varOmega \) in \(A\), und der Satz, daß eine Algebra zerfällt, wenn sie an jeder Stelle zerfällt, läßt sich so aussprechen: Unter den normalen einfachen Algebren sind die vollen Matrixalgebren die einzigen mit der Diskriminante 1.