Über endliche Fastkörper. (Q2611576)

In einem endlichen Körper sind bekanntlich die beiden Kommutativgesetze Folge der übrigen Körperaxiome; dagegen kann außer diesen Gesetzen keines der beiden Distributivgesetze fortgelassen werden. Durch das Fallenlassen eines dieser Gesetze kommt man demnach zu einem neuen Typus algebraischer Systeme, dem \textit{Fastkörper}. Die Definition des Verf. lautet: 1. 0. Ein Fastkörper ist eine nicht leere Menge von Elementen. Jedem geordneten Paare \(a\), \(b\) ist die Summe \(a + b\) eindeutig zugeordnet, wobei \(a + b\) aus dem Fastkörper stammt. Für diese Addition gilt das Assoziationsgesetz: 1.1. \(\qquad \qquad \qquad (a+ b) + c = a+ (b + c)\) \noindent und die Umkehrbarkeit der Addition: 1. 2. \(\qquad \qquad \qquad a + x = b \quad \text{und} \quad y + a = b\) \noindent ist im Fastkörper lösbar. Es gibt dann ein eindeutig bestimmtes Nullelement 0. Es gibt eine Teilmenge \(\mathfrak{M}\) des Fastkörpers, genannt Bereich der Multiplikatoren, mit den Eigenschaften: \(\mathfrak{M}\) enthält ein von Null verschiedenes Element. 2. 0. Jedem Paar \(\mu\), \(x\) mit \(\mu \in \mathfrak{M}\) ist eindeutig das Produkt \(y = \mu x\) zugeordnet, wobei \(y\) ein Element des Fastkörpers ist. 2. 1. Wenn \(\mu, \, \mu' \in \mathfrak{M}\), so ist auch \(\mu \mu' \in \mathfrak{M}\) und es ist \[ (\mu \mu') \, x = \mu (\mu' x). \] 2. 2. Die Multiplikation in \(\mathfrak{M}\) ist umkehrbar. 2. 3. In \(\mathfrak{M}\) gibt es ein Element 1 mit der Eigenschaft \(1 \cdot ? x = x\). 2. 4. Aus \(\mu x = x\) und \(x \neq 0\) folgt \(\mu = 1\). In einem Fastkörper gilt das linksseitige Distributivgesetz 3. \(\qquad \qquad \qquad \mu (x + y) = \mu x + \mu y\). Ein Fastkörper heißt vollständig, wenn \(\mathfrak{M}\) aus allen von 0 verschiedenen Elementen besteht. In einem solchen endlichen Fastkörper ist die Addition kommutativ. Daher ist ein endlicher vollständiger Fastkörper nichts anderes als ein spezieller Typus von abelschen Gruppen und Linksoperatoren, die so beschaffen sind, daß jedem von 0 verschiedenen Element der Gruppe genau ein Operator zugeordnet ist. Es gibt endliche vollständige Fastkörper, wie \textit{Dickson} und \textit{Veblen} gezeigt haben, die nicht Körper sind. Verf. zählt alle möglichen Typen von endlichen vollständigen Fastkörpern auf. Es sind dies für eine vorgegebene Ordnung \(q\) entweder die von \textit{Dickson} und \textit{Veblen} angegebenen Typen oder einer von sieben von Verf. angegebenen Ausnahmetypen. Erreicht wird diese Aufzählung durch eine Reihe von auch an sich nicht uninteressanten Sätzen über auflösbare Gruppen, die sich auf deren Darstellungstheorie beziehen. (III 5 A.)