On certain functions connected with polynomials in a Galois field. (Q2611578)

\(\psi_k(ct) = \prod (t-E)\), wo das Produkt über alle Polynome \(E\) von kleinerem als \(k\)-tem Grad in einer Unbestimmten über einem Körper von \(p^n\) Elementen zu erstrecken ist, hat folgende Eigenschaften: \[ \psi_k(ct) = c \psi_k(t), \quad \psi_k(u + t) = \psi_k(u) + \psi_k(t) \] (\(c\) konstant), und wird deshalb lineares Polynom genannt. Ein ähnlich gebildetes, aber unendliches Produkt \(\psi\) hat dieselben Eigenschaften. Zu diesen Funktionen \(\psi_k\) und \(\psi\) werden die Inversen und die reziproken Funktionen angegeben. Dabei spielt der Operator \(\Delta\) eine besondere Rolle, der für ein beliebiges lineares Polynom \(f(t)\) durch \(\Delta f(t)= f(xt)-x f(t)\) definiert wird. Die so erhaltenen Ergebnisse werden benutzt, um einen neuen Beweis des \textit{F. K. Schmidt}schen Reziprozitätsgesetzes, sowie ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Lösbarkeit der Kongruenz \(t^{p^n} - t \equiv A\mod P\), \(P\) Primpolynom) herzuleiten. (III 6.),