Some properties of the elementary symmetric functions of a reduced system of residues of \(p^m\). (Q2611584)

Verf. gibt einen neuen Beweis des folgenden von \textit{Chowla} (Journ. London Math. Soc. 5 (1930), 158-160; F.~d.~M. 56\(_{\text{I}}\), 156) bewiesenen Satzes: Sei \(m\) eine positive ganze Zahl, \(p\) eine ungerade Primzahl, dann ist \[ \sum_{\begin{matrix} n \leqq p^m \\ (p,n)=1 \end{matrix}} \frac{1}{n} \equiv 0 \quad \left\{ \begin{aligned} & (\text{mod} \, p^{2m-1}), \quad \text{falls} \; p=3 \\ & (\text{mod} \, p^{2m}), \qquad \text{falls} \; p>3. \end{aligned} \right. \] Er folgert diesen Satz aus dem folgenden, etwas umfassenderen Resultat: \(s_1, \, s_2, \ldots \!, s_{\varphi}\) \((\varphi = \varphi(p^m))\) seien die kleinsten positiven Repräsentanten der zu \(p^m\) teilerfremden Restklassen mod \(p^m\). Man setze \[ \prod\limits_{i=1}^{\varphi} (x-s_i) = \sum_{i=0}^{\varphi} (-1)^i A_i x^{\varphi-i}. \] Dann gilt: \[ \begin{aligned} \qquad A_2 & \equiv A_{\varphi - 2} \equiv 0 \; \left\{ \begin{aligned} & (\text{mod} \, p^{m}), \; \text{wenn} \; p>3, \\ & (\text{mod} \, p^{m-1}), \; \text{wenn} \; p=3, \end{aligned} \right. \\ \qquad A_3 & \equiv A_{\varphi - 1} \equiv 0 \; \left\{ \begin{aligned} & (\text{mod} \, p^{2m}), \; \text{wenn} \; p>3, \\ & (\text{mod} \, p^{2m-1}), \; \text{wenn} \; p=3, \end{aligned} \right. \end{aligned} \] \[ \left. \begin{aligned} A_{\frac{\varphi}{2}} & \equiv 0 \; (\text{mod} \, p^{m}) \\ A_{\frac{\varphi}{2}+1} & \equiv 0 \; (\text{mod} \, p^{2m}) \end{aligned} \right\}, \; \text{wenn} \; p \equiv 1 \pmod{4}. \]