Über Ramanujansche Kongruenzeigenschaften der Zerfällungsanzahlen. (Q2611602)

Der Verf. gibt Beweise für Sätze aus einer hinterlassenen unvollständigen und schwer verständlichen Abhandlung von \textit{Ramanujan}, und zwar: 1. Es seien \(\omega_1, \, \omega_2, \, \omega_3, \ldots\) die Primzahlen der arithmetischen Progression \(ky + l\) \((k > 2, \, (k, l) = 1)\). Die natürliche Zahl n habe die Primzahlzerlegung \[ n = 2^{a_2} \, 3^{a_3} \, 5^{a_5} \, 7^{a_7} \ldots = \prod p^{a_p}. \] Die zahlentheoretische Funktion \(b_{n, k, l}\) habe den Wert 1 oder 0, je nachdem ob alle die besonderen Exponenten \(a_{\omega}\) gerade sind oder nicht. Dann ist mit \(x \to \infty\) \[ \sum_{n=1}^{x} b_{n, k, l} = O \left( \frac{x}{(\log \, x)^{\frac{1}{\varphi(k)}}} \right) = o \, (x). \] Der Beweis erfolgt auf funktionentheoretischem Wege unter Benutzung der analytischen Funktion \(F(s)\), welche für \(\sigma > 1\) \((s = \sigma + it)\) durch die \textit{Dirichlet}sche Reihe ? \[ \sum_{n=1}^{x} \frac{b_{n, k, l}}{n^s} \] definiert wird. Nach Entwicklung der Eigenschaften von \(F(s)\) wird zuerst \[ \sum_{n=1}^{x} b_{n, k, l} \log \frac{x}{n} \] und dann \(\sum\limits_{n=1}^{x} b_{n, k, l}\) abgeschätzt. 2. Es sei \(k\) eine beliebige, \(s\) eine ungerade natürliche Zahl, \(\sigma_s(n)\) die Summe der \(s\)-ten Potenzen der positiven Teiler von \(n\), \(C_x\) die Anzahl der ganzen Zahlen \(n \leqq x\) derart, daß \(\sigma_s(n)\) nicht durch \(k\) teilbar ist. Dann ist \[ C_x = O \left( \frac{x}{(\log \, x)^{\frac{1}{\varphi(k)}}} \right) = o \, (x). \] Beweis folgt im wesentlichen aus 1. 3. Es sei \(\tau(n)\) definiert durch \[ \sum_{1}^{\infty} \tau(n) \, x^n = x \, \{(1-x) \, (1-x^2) \, (1-x^3) \ldots \}^{24}; \] ferner sei \(\qquad \qquad \quad \qquad \qquad t_n = 0, \; \, \text{wenn} \; \; 691 \, \, | \, \, \, \tau(n),\) \[ t_n = 1, \; \; \text{wenn} \; \; 691 \, \nmid \, \tau(n). \] Dann ist für große \(x\) \[ \sum_{n=1}^{x} t_n = O \left( \frac{x}{(\log \, x)^{\frac{1}{690}}} \right) = o \, (x). \] Beim Beweise wird benutzt, daß \[ \tau(n) \equiv {\sigma_{11}(n) \pmod{691}}. \] (\(\sigma_{11}(n)\) = Summe der elften Potenzen der Teiler von \(n\).)