Ein zahlentheoretischer Satz. (Q2611648)

\textit{N. P. Romanoff} (Romanov) bewies in seiner Arbeit ``Über einige Sätze der additiven Zahlentheorie'' [Math. Ann. 109, 668--678 (1934; JFM 60.0131.03)] den folgenden Hilfssatz: Sei \(a\) eine feste ganze Zahl, \(l(k)\) die kleinste positive Zahl, für die \(a^{l(k)}\equiv 1\pmod k\) ausfällt; dann konvergiert die Reihe \[ \sum_{\substack{k=1 \\ (a,k)=1}}^\infty \dfrac{\mu(k)^2}{k\cdot l(k)}. \] Verf. geben für diesen Satz einen Beweis, der elementar und wesentlich kürzer ist, und der zugleich ein allgemeineres Resultat liefert, daß nämlich \[ \sum_{\substack{k=1 \\ (k,a)=1}}^\infty \dfrac{1}{k\cdot l(k)^\varepsilon} \tag{1} \] für jedes \(\varepsilon > 0\) konvergiert. Zum Beweise werden die Zahlen \(k\) in zwei Klassen \(k'\) und \(k''\) geteilt. Für die erste sei: \(l(k')\ge (\log k')^{\frac{2}{\varepsilon}}\); hieraus folgt unmittelbar die Konvergenz der Summe (1) erstreckt über die \(k'\). Für die \(k''\) gelte \(l(k'') < (\log k'')^{\frac{2}{\varepsilon}}\). Indem man bedenkt, daß alle \(k''\le n\) Teiler einer der Zahlen \[ a-1, a^2-1,\ldots,a^{\left[(\log n)^{\frac{2}{\varepsilon}}\right]} -1 \] sein müssen, erkennt man leicht, daß ihre Anzahl \(O\left(\frac{n}{\log^2n}\right)\) ist, so daß sogar \(\sum\limits_1^\infty \frac{1}{k''}\) konvergiert.