Ein neuer Beweis für die Reziprozitätsformel der Gaußschen Summen in beliebigen algebraischen Zahlkörpern. (Q2611672)

Verf. beweist die \textit{Hecke}sche Reziprozitätsformel für \textit{Gauß}sche Summen in beliebigen algebraischen Zahlkörpern, indem er die Frage auf das Verhalten mehrfacher rationaler \textit{Gauß}scher Summen zurückführt. Sem relativ kurzer Beweis benutzt transzendente Hilfsmittel nur zur Herleitung der Reziprozitätsformel einfacher rationaler \textit{Gauß}scher Summen. Der Beweisgang besteht in folgenden Schritten: 1) Seien \(u, v\) rationale Zahlen, \(u\neq 0\), \(R\) eine natürliche Zahl, sodaß \(2\,Ru, R^2u, Rv\) ganz sind. Dann zeigt Verf. durch Reproduktion sowohl der \textit{Kronecker}schen Methode (\textit{Cauchy}scher Integralsatz) als auch der auf reeller Analysis beruhenden \textit{Fourier}reihenmethode, daß \[ \sum\limits_{m=0}^{R-1}e^{2\pi i(um^2+vm)} = e^{\tfrac{\pi i}{4}\text{sgn } u} |\sqrt{2u}|^{-1} \sum\limits_{m'=0}^{2R|u|-1}e^{-\tfrac{2\pi i}{4u}(m'+v)^2}. \tag{1} \] 2) Sei \(\mathfrak{U} = (u_{j,k})\), \(j, k = 1, 2,\ldots, n\), \(u_{j,k} = u_{k,j}\) rational, \(|\mathfrak{U}|\neq 0\), \(\mathfrak{v} = \{v_1, v_2,\ldots, v_n\}\), \(v_j\) rational, \(P\) eine natürliche Zahl, sodaß \(P\mathfrak{U}\) und \(P\mathfrak{v}\) ganzzahlig sind, \[ G(\mathfrak{U},\mathfrak{v};P) = \sum\limits_{\mathfrak{x}\mod P}e^{2\pi i\mathfrak{x}(\mathfrak{U}\mathfrak{x}+\mathfrak{v})}; \] (\(\mathfrak{x} = \{x_1, x_2,\ldots, x_n\}\) durchläuft in der Summe ein volles Repräsentantensystem des Restklassengitters mod \(P\)). Wenn nun die Determinanten \(D_0 =1\), \(D_r=|u_{j,k}|\) (\(j,k=1,2,\ldots,r\)) für \(r =0,1,2,\ldots,n\) sämtlich nicht verschwinden und die natürliche Zahl \(R\) durch gewisse Nenner teilbar ist, so gilt \[ \displaylines{ (2) \qquad \qquad G(\mathfrak{U},\mathfrak{v};R) = \hfill \cr \hfill e^{\tfrac{\pi i}{4}\text{sgn }\mathfrak{U}}\left|\sqrt{2^nD_n}\right|^{-1} \sum\limits_{y_1=0}^{2R\left|\tfrac{D_1}{D_0}\right|-1} \sum\limits_{y_2=0}^{2R\left|\tfrac{D_2}{D_1}\right|-1} \cdots \sum\limits_{y_n=0}^{2R\left|\tfrac{D_n}{D_{n-1}}\right|-1} \exp\left\{-\dfrac{\pi i}{2}(\mathfrak{y} +\mathfrak{v})\mathfrak{U}^{-1}(\mathfrak{y} +\mathfrak{v})\right\}. \cr } \] Dabei ist sgn \(\mathfrak{U}\) die Signatur der quadratischen Form \(\mathfrak{x}\cdot\mathfrak{Ux}\), \(\mathfrak{y}= \{y_1,y_2,\ldots,y_n\}\). Der Beweis wird durch vollständige Induktion geführt. Für \(n=1\) ist (1) \(\equiv\) (2); der Schluß von \(n\) auf \(n+1\) geschieht ausschließlich durch Anwendung von (1). 3) Aus (2) folgt, wenn darin \(R\) zunächst noch weiteren Teilbarkeitsbedingungen unterworfen, nachher aber eliminiert wird, elementar die Reziprozitätsformel \[ \dfrac{G(\mathfrak{U},\mathfrak{v};P)}{P^n} = e^{\tfrac{\pi i}{4}\text{sgn }\mathfrak{U}}\left|\sqrt{2^nD_n}\right| e^{2\pi i\mathfrak{v}\cdot\tfrac{-\mathfrak{U}^{-1}}{4}\mathfrak{v}} \dfrac{G\left(\dfrac{-\mathfrak{U}^{-1}}{4}, \dfrac{-\mathfrak{U}^{-1}}{2}\mathfrak{v}; Q\right)}{Q^n}, \tag{3} \] in der \(Q\) die zu \(P\) analoge Bedeutung hat. 4) Die Befreiung von der Voraussetzung \(D_r \neq 0\) für \(0\leqq r\leqq n\) erfolgt auf Grund der allgemein gültigen Formel \(G(\mathfrak{U},\mathfrak{v};R) = G(\mathfrak{C}'\mathfrak{U}\mathfrak{C}, \mathfrak{C}'\mathfrak{v}; P)\), wenn \(\mathfrak{C}\) eine \(n\)-reihige quadratische ganzzahlige unimodulare Matrix bezeichnet, durch den Nachweis, daß ein derartiges \(\mathfrak{C}\) existiert, für welches die Matrix \(\mathfrak{C}'\mathfrak{U}\mathfrak{C}\) die genannte Voraussetzung erfüllt. 5) Die Reziprozitätsformel für eine gegenüber der \textit{Hecke}schen allgemeinere Klasse von \textit{Gauß}schen Summen in beliebigen algebraischen Zahlkörpern ergibt sich unter Anwendung bekannter Differentensätze durch Rückübertragung in die Sprache der früheren Formeln aus (3). Die dabei auftretende Signatur der quadratischen Form \(\mathfrak{x}\cdot\mathfrak{Ux}\) in (3) ist eine Darstellung des analogen Exponenten in algebraischen Zahlkörpern in der die Realitätsverhältnisse der konjugierten Zahlkörper nicht erscheinen.