Über die \(L\)-Funktionen in einem kubischen Körper. (Q2611683)

Sei \(k\) ein algebraischer Zahlkörper, und seien \(L(s, \chi)\), \(L(s, \chi^*)\) \textit{Artin}sche \(L\)-Funktionen zu \(k\) in bezug auf einen ohne Beschränkung der Allgemeinheit absolutgaloisschen Erweiterungskörper \(K\). Ist \(k\) selbst galoissch, so gilt nach \textit{Artin} \(L(s, \chi) = L(s, \chi^*)\) dann und nur dann, wenn die \textit{Frobenius}schen Charaktere \(\chi, \chi^*\) von \(K/k\) in der absoluten \textit{Galois}gruppe von \(K\) konjugiert sind. Verf. betrachtet nun den Fall eines nicht-galoisschen kubischen Zahlkörpers \(k\) mit dem zugehörigen galoisschen Körper \(k'\) und findet als notwendige und hinreichende Bedingung für \(L (s, \chi) = L(s, \chi^*)\), daß erstens \(\chi = \chi^0\chi\), \(\chi^* = \chi^0\chi^*\) gilt, wo \(\chi^0\) der Nichthauptcharakter für \(k'/k\) ist, und daß zweitens \(\chi = \chi_\psi\), \(\chi^* = \chi_{\psi^*}\) durch in der absoluten \textit{Galois}gruppe von \(K\) konjugierte Charaktere \(\psi, \psi^*\) von \(K/k'\) induziert sind.