Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper. (Q2611687)

Es sei \(h(d)\) die Klassenzahl des quadratischen Zahlkörpers \(\mathfrak{K}_d\) mit der Diskriminante \(d\). \textit{Heilbronn} hat die \textit{Gauß}sche Vermutung \(h(d)\to\infty\) für \(d\to -\infty\) bewiesen und \textit{Landau} (s. vorstehendes Referat) dazu eine untere Abschätzung für \(h(d)\) gegeben. Verf. bestimmt das genaue asymptotische Verhalten von \(h(d)\), und zwar nicht nur für \(d\to -\infty\) (imaginär-quadratische Körper) sondern auch für \(d\to +\infty\) (reell-quadratische Körper). Er beweist: \[ \begin{aligned} & \log\, h(d) \sim \log\, \sqrt{-d} \quad \text{für } \;d\to -\infty, \\ &\log\, (h(d)\, \log\, \varepsilon_d) \sim \log\, \sqrt{d} \quad \text{für } \;d\to +\infty, \end{aligned} \] wo \(\varepsilon_d\) die Grundeinheit von \(\mathfrak{K}_d\) ist. Beide Tatsachen laufen auf die eine \[ \log\, \varkappa_d = \log\, L_d(1) = o(\log\, |d|) \text{ für } |d|\to\infty \] zurück, wo \(\varkappa_d = L_d(1)\) das Residuum der Zetafunktion von \(\mathfrak{K}_d\) (Wert der zum Charakter \(\left(\dfrac{d}{n}\right)\) gehörigen \(L\)-Funktion) bei 1 ist. Der Beweis beruht auf der von \textit{Hecke} zum Beweis der Funktionalgleichung der Zetafunktion \(\zeta_{\mathfrak{K}}(s)\) eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers \(\mathfrak{K}\) gegebenen Integraldarstellung: \[ \begin{multlined} 2^{-r_2s}\pi^{-\tfrac{n}{2}s}|d|^{\tfrac{s}{2}}\varGamma^{r_1}\left( \dfrac{s}{2}\right)\varGamma^{r_2}(s)\zeta_{\mathfrak{K}}(s) = -\dfrac{(2\pi)^{-r_2}|d|^{\tfrac{1}{2}}\varkappa_{\mathfrak{K}}}{s(1-s)} \\ +\sum\limits_{\mathfrak{a}\text{ ganz}}\idotsint\limits_{N(x)\geqq 1} \left(N(x)^{\tfrac{s}{2}} + N(x)^{\tfrac{1-s}{2}}\right) e^{-\pi N(\mathfrak{a})^{\tfrac{2}{n}}|d|^{-\tfrac{1}{n}}Sp(x)} \dfrac{dx_1}{x_1} \cdots \dfrac{dx_{r_1+r_2}}{x_{r_1+r_2}}, \end{multlined} \] wo \(d\) die Diskriminante, \(n\) den Grad, \(r_1\) die Anzahl der reellen, \(r_2\) die Anzahl der komplexen unendlichen Primstellen von \(\mathfrak{K}\) bezeichnet, und \(\varkappa_\mathfrak{K}\) das Residuum von \(\zeta_\mathfrak{K}(s)\) bei 1 ist. Aus dieser Integraldarstellung folgert Verf. durch alleinige Berücksichtigung von \(\mathfrak{a}=1\) rechts leicht den Hilfssatz: Besteht für ein \(s\) mit \(0 < s < 1\) die Ungleichung \[ \varkappa_\mathfrak{K}\leqq s(1-s)2^{-n}e^{-2n\pi}|d|^{-\tfrac{1-s}{2}}, \] so ist dort \(\zeta_{\mathfrak{K}}(s) >0\). Wäre nun \(\log\,\varkappa_d\) nicht \(o(\log\, |d|)\), so gäbe es ein positives \(\varepsilon < 1\) derart, daß \(\varkappa_d = L_d(1) < |d|^{-\varepsilon}\) für \textit{gewisse} beliebig große \(|d|\) wäre (denn \(L_d(1) > |d|^\varepsilon\) kann auf Grund der elementar aus der \textit{Dirichlet}-Reihe zu gewinnenden Abschätzung \(L_d(1) < 3 \log\, |d|\) höchstens endlich oft eintreten), und diese Abschätzung lieferte nach dem obigen Hilfssatz \(\zeta_{\mathfrak{K}_d}(1-\varepsilon) > 0\) für \textit{gewisse} beliebig große \(|d|\). Für jedes solche \(d\) existierte dann also eine Nullstelle \(\sigma\) von \(\zeta_{\mathfrak{K}_d}(s)\) mit \(1-\varepsilon < \sigma < 1\). Betrachtet man dann den aus zwei quadratischen Körpern \(\mathfrak{K}_d\), \(\mathfrak{K}_{d'}\) komponierten biquadratischen Körper \(\mathfrak{K}\) und beachtet die aus der Klassenkörpertheorie geläufigen Identitäten \[ \zeta_{\mathfrak{K}}(s) = \zeta (s)L_d(s)L_{d'}(s)L_{d''}(s), \quad \zeta_{\mathfrak{K}_d}(s) = \zeta (s)L_d(s), \] wo \(\mathfrak{K}_{d''}\) der dritte quadratische Teilkörper von \(\mathfrak{K}\) ist, so lieferte die erneute Anwendung des angeführten Hilfssatzes auf \(\mathfrak{K}\), gemäß \(\zeta_{\mathfrak{K}}(\sigma) = 0\), eine untere Abschätzung für \(\varkappa_{\mathfrak{K}} = L_d(1)L_{d'}(1)L_{d''}(1)\) und daraus leicht eine \textit{untere} Abschätzung für \textit{alle} \(L_{d'}(1)\) mit hinreichend großem \(|d'|\), die zu der für \textit{gewisse} \(L_d(1)\) angenommenen \textit{oberen} Abschätzung im Widerspruch steht. Verf. vermutet, daß allgemein für beliebige algebraische Zahlkörper \(\mathfrak{K}\) festen Grades \(n\) zwischen Diskriminante \(d\), Klassenzahl \(h\) und Regulator \(R\) die asymptotische Beziehung \[ \log\, (hR)\sim \log\, \sqrt{|d|} \] besteht. Er führt ohne Beweis an, daß die für quadratische Körper \(\mathfrak{K}\) dargelegte Methode in Verbindung mit der Klassenkörpertheorie ausreicht, um diese Beziehung für alle über einem festen Körper \(\mathfrak{K}_0\) auflösbaren Körper \(\mathfrak{K}\) zu beweisen.