Über einige Mittelwertfragen im quadratischen Zahlkörper. (Q2611689)

Verf. beschäftigt sich mit Häufigkeitsfragen über die Zahlen \(e_4\) bzw. \(e_8\) der durch 4 bzw. 8 teilbaren Invarianten der absoluten Klassengruppe (im engeren Sinn) und über das Vorzeichen der Norm der Grundeinheit eines reellen quadratischen Zahlkörpers, dessen Diskriminante keine Primzahlen \(\equiv - 1\) (mod 4) enthält. -- Zur Konkurrenz werden jeweils alle die der Größe nach geordneten Diskriminanten zugelassen, die \(t\) Primzahlen enthalten, wobei \(t\) fest, sonst beliebig ist. In diesem Sinn werden die Wahrscheinlichkeit dafür, daß \(e_4\) einen gegebenen Wert \(e < t\) annimmt, und der Mittelwert von \(e_4\) bestimmt, die beide mit \(t\to\infty\) angebbaren Grenzen zustreben. -- Verf. hat früher zwei Kriterien mit vierten Potenzrestsymbolen für das Vorzeichen der Norm der Grundeinheit angegeben (Über die Grundeinheit und die durch 8 teilbaren Invarianten der absoluten Klassengruppe im quadratischen Zahlkörper, Journ. f. Math. 171 (1934), 131-148; JFM 60.0125.*); jetzt werden die Wahrscheinlichkeiten für die Anwendbarkeit dieser Kriterien berechnet, die wieder mit \(t\to\infty\) festen Grenzen zustreben. Daraus ergeben sich dann noch schärfere als die bisherigen Abschätzungen über die Anzahl der Diskriminanten unterhalb einer gegebenen Grenze, bei denen die Norm der Grundeinheit positiv bzw. negativ ist (vgl. \textit{Nagell}, Über die Lösbarkeit der Gleichung \(x^2-Dy^2 = - 1\), Arkiv för Mat. 23 B (1932), 1-5; F. d. M. 58). Schließlich werden die entsprechenden Fragen für \(e_8\) untersucht; jedoch sind die Resultate bei weitem nicht so scharf wie die über \(e_4\).