Neuer Beweis und Verallgemeinerung eines Hurwitzschen Satzes. (Q2611719)

\textit{Hurwitz} (Math. Ann. 39 (1891), 279-284; F. d. M. 23, 222 (JFM 23.0222.*)) hat bewiesen: Für beliebiges reelles \(\varTheta\) hat die Ungleichung \[ |x\varTheta - y| < \dfrac{1}{x\sqrt{5}} \] unendlich viele Lösungen in ganzen \(x > 0, y\). \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) ist hierin die beste Konstante. Nach \textit{Kronecker} (vgl. \textit{Hardy} und \textit{Littlewood}, Acta math. 37 (1914), 155-191, 193-239; F. d. M. 45, 305 (JFM 45.0305.*)) gibt es eine Konstante \(C\), so daß auch \[ |x\varTheta - y - \alpha | < \dfrac{C}{x} \] (\(\varTheta\) irrational, \(\alpha\) reell) unendlich viele Lösungen in ganzen \(x > O, y\) hat. Die Antwort auf die Frage nach der unteren Schranke aller \(C\), für die die letzte Behauptung richtig ist, gibt Verf. in Satz 2: Ist \(\varTheta\) irrational, \(\alpha\) reell und \(\varepsilon > 0\), so hat die Ungleichung \[ |x\varTheta - y - \alpha | < \dfrac{1+\varepsilon}{x\sqrt{5}} \] unendlich viele Lösungen in ganzen \(x >0, y\). Der Beweis des Satzes beruht auf der Diskussion elementarer arithmetischer Ungleichungen. Ferner gibt Verf. den Beweis des folgenden Satzes 3 an : Ist \(\varTheta\) irrational und die Ungleichung \[ |x\varTheta - y| < \dfrac{\varepsilon}{x} \] für jedes \(\varepsilon > 0\) in ganzen \(x > 0, y\) lösbar, so ist auch die Ungleichung \[ |x\varTheta - y - \alpha | < \dfrac{1+\varepsilon}{3x} \] für jedes \(\varepsilon > 0\) und jedes reelle \(\alpha\) in ganzen \(x > 0, y\) lösbar.