Über eine Riemannsche Identität. (Q2611733)

Für reelle \(u\) sei \(\psi(u) = u-[u]-\tfrac{1}{2}\), falls \(u\) nicht ganz ist. Für ganze \(u\) sei \(\psi(u) = 0\). Weiter sei \[ t(n) = \sum\limits_{d|n}(-1)^d. \] Für rationale \(\theta\) ist nach \textit{Riemann} (Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, aus dem Nachlaß des Verfassers mitgetheilt durch \textit{R. Dedekind}, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), 87-132; oder auch: Werke, S. 227-264, besonders S. 263): \[ \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}\psi\left(n\theta + \dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{\pi} \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}t(n)\sin\, 2n\pi\theta. \tag{1} \] Weiter behauptet \textit{Riemann}, daß die durch die linke Seite (für gewisse \(\theta\)-Werte) dargestellte Funktion auf keiner noch so kleinen Strecke zwischen endlichen Grenzen hegt. \textit{Riemann} gibt diese Behauptungen ohne Beweise. Die Verf. wollen: 1. diese Behauptungen beweisen und 2. die Funktionen rechts und links in (1) auch für gewisse irrationale \(\theta\) studieren. Sie zeigen: I. (1) gilt: 1. für alle rationalen \(\theta\); 2. für fast alle \(\theta\); 3. für alle algebraischen Irrationalitäten \(\theta\). II. \(\varphi(x)\) bedeute eine beliebige Funktion von \(x\), die für \(x > 0\) definiert und positiv ist und für \(x\to\infty\) monoton gegen Null abnimmt. Dann gibt es zwei auf der \(\theta\)-Achse dicht liegende Mengen \(M_1\) und \(M_2\) rationaler \(\theta = \dfrac{p}{q}\), so daß die linke Seite von (1) \(\leqq -\varphi (q)\log\, q\) in \(M_1\) ist und \(\geq\varphi (q)\log\, q\) in \(M_2\) (was offenbar eine Verschärfung der zweiten \textit{Riemann}schen Behauptung ist). III. Falls \(\varphi (x)\) wie bei II erklärt ist, so gibt es eine auf der \(\theta\)-Achse dicht liegende Menge \(M_3\) irrationaler \(\theta\), so daß in \(M_3\) die partiellen Summen \(\sum\limits_{n=1}^x\) der Reihen auf der linken und rechten Seite von (1) beide sowohl \(\Omega_R(\varphi(x)\log\,x)\), wie \(\Omega_L(\varphi(x)\log\,x)\) sind (falls \(x\to\infty\)). Die Verf. erhalten zuerst die analogen Resultate für die von \textit{Chowla} (für alle \(\theta\) mit beschränkten Kettenbruchnennern) bewiesene Identität \[ \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\psi(n\theta)}{n} = -\dfrac{1}{\pi} \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}d(n)\sin\, 2n\pi\theta, \] wo \(d(n)\) die Anzahl der (positiven) Teiler von \(n\) ist. Die meisten dieser Resultate haben die Verf. schon früher erhalten (\textit{S. D. Chowla}, Some problems of diophantine approximation, I, Math. Z. 33 (1931), 544-563; JFM 57.0237.*. \textit{A. Walfisz}, Über einige trigonometrische Summen, Math. Z. 33 (1931), 564-601; JFM 57.0238.*).