Sur une propriété arithmétique de quelques fonctions entières. (Q2611734)

Verf. zeigt: Sei \(Q(z)\) ein Polynom \(q\)-ten Grades mit rationalen Koeffizienten und \(Q(z)\neq 0\) für \(z = 0, 1, 2,\ldots\); seien ferner \(P_\nu (z)\) (\(\nu = 1,\ldots, h\)) Polynome mit rationalen Koeffizienten vom Grad \(q_\nu < q\), und \[ f_\nu (x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{P_\nu(n)x^n}{Q(0)Q(1)\ldots Q(n)} \qquad (\nu = 1,2,\ldots,h). \] Sind \(\alpha_1,\ldots,\alpha_h\) von Null und untereinander verschiedene rationale Zahlen und die \(f_\nu (x)\) nicht identisch Null, so ist \(\sum\limits_{\nu =1}^hf_\nu (\alpha_\nu)\) irrational. -- Zum Beweis sei: \[ \begin{gathered} M = \sum\limits_{m=0}^n a_mQ(0)Q(1)\ldots Q(m), \\ N_m^{(\nu)}(x) = \sum\limits_{l=0}^{n-m}a_{m+l}Q(l+1)Q(l+2)\ldots Q(l+m)P_\nu(l)x^l, \;N^{(\nu)}(x) = \sum\limits_{m=0}^nN_m^{(\nu)}(x), \\ r_m^{(\nu)}(x) = \sum\limits_{l=m+1}^\infty\dfrac{P_\nu (l)x^l}{Q(m + 1)Q(m+2)\ldots Q(l)}, \;R^{(\nu)} = \sum\limits_{m=0}^n a_mr_m^{(\nu)} (x); \end{gathered} \] dabei ist \(n\) eine beliebige natürliche und \(a_0, a_1,\ldots, a_n\) sind beliebige ganze rationale Zahlen. Es ist dann \(Mf_\nu(x) - N^{(\nu)}(x) = R^{(\nu)}(x)\) und also \[ M\sum\limits_{\nu =1}^h f_\nu (\alpha_\nu) \sum\limits_{\nu =1}^h N^{(\nu)}(\alpha_\nu) = \sum\limits_{\nu =1}^h R^{(\nu)}(\alpha_\nu). \] Man wähle die \(a_\nu\) so, daß identisch in \(x\) \[ \sum\limits_{m=0}^n a_mx^m = x^r\{(x-\alpha_1)\ldots (x-\alpha_h)\}^s \quad (n=r+hs, \;r\geqq\varrho, \;s\geqq (\varrho + 1)q) \] wird, wo \(\varrho\) eine große natürliche Zahl bezeichnet. Durch diese Wahl wird einfacher \(M = \sum\limits_{m=r}^n a_mQ(0)Q(1)\ldots Q(m)\), und ferner \(N_m^{(\nu)}(\alpha_\nu) = 0\) für \(m = 1, 2,\ldots,\varrho\); \(\nu = 1,2,\ldots,h\). Seien nun die Koeffizienten von \(Q\) und \(P_\nu\) ohne Beschränkung der Allgemeinheit ganz und ferner \(\sum\limits_{\nu =1}^hf_\nu (\alpha_\nu)\) rational; es gibt dann zwei natürliche Zahlen \(A, B\) unabhängig von \(n\), sodaß \(A\sum\limits_{\nu =1}^hf_\nu (\alpha_\nu)\), \(B^{2n}M\), \(B^{2n}\sum\limits_{\nu =1}^hN^{(\nu)}(\alpha_\nu)\) ganz sind, also auch die linke Seite der Gleichung \noindent \(B^{2n}\, M\sum\limits_{\nu =1}^hAf_\nu (\alpha_\nu) AB^{2n}\sum\limits_{\nu =1}^hN^{(\nu)}(\alpha_\nu) = AB^{2n}\sum\limits_{\nu =1}^hR^{(\nu)}(\alpha_\nu)\). Aus der Gestalt von \(M\) und \(\sum\limits_{\nu =1}^hN^{(\nu)}(\alpha_\nu)\) ist aber leicht abzuleiten, daß diese linke Seite durch eine Zahl \(D_\varrho\) mit \(\lim\limits_{\varrho\to\infty}\root\varrho\of{D}=\infty\) teilbar ist; die rechte Seite bleibt dagegen kleiner als die \(\varrho\)-te Potenz einer Konstanten, wenn \(n, r, s, \varrho\) so wachsen, daß \(\tfrac{n}{\varrho}\) beschränkt ist, und wie sich durch Integralbetrachtungen zeigt, ist sie nicht immer gleich Null: Widerspruch! -- Wegen ähnlicher Untersuchungen siehe auch \textit{A. Hurwitz} (Math. Ann. 22 (1883), 221-229; 32 (1888), 583-589. F. d. M. 15, 229 (JFM 15.0229.*); 20, 392), \textit{O. Perron} (Math. Ann. 66 (1909), 446-487; F. d. M. 40, 364 (JFM 40.0364.*)), \textit{Tschakaloff} (Math. Ann. 80 (1919-20), 62-74; F. d. M. 47, 167 (JFM 47.0167.*)), \textit{J. Bendixson} (Stockholm Öfversigt 53 (1896), 193-205; F. d. M. 27, 248 (JFM 27.0248.*)), \textit{E. Stridsberg} (Acta math. 33 (1910), 233-292; F. d. M. 41, 243 (JFM 41.0243.*)) und \textit{W. Maier} (Journ. f. Math. 156 (1927), 93-148; F. d. M. 53, 340).