Verteilungsfunktionen. II. (Q2611757)

Beweis der Sätze 1, 4, 5 und 6 der ersten Mitteilung (vgl. das vorangehende Referat). Satz 1 wird abgeleitet aus Hilfssatz 1: Jede Folge \(\chi_1(\gamma),\chi_2(\gamma),\ldots\) monoton-nichtabnehmender Funktionen \(\geqq 0\) und \(\leqq 1\) besitzt wenigstens eine Grenzfunktion; d.h. sie enthält eine Teilfolge \(\psi_1(\gamma),\psi_2(\gamma),\ldots\), so daß lim \(\psi_k(\gamma)\) fur jedes \(\gamma\) existiert. -- Satz 4 wird gewonnen mittels der beiden Hilfssätze: Hilfssatz 2: Es sei \(\lambda(x)\) für jedes positive ganze \(x\) definiert, \(\geqq 1\) und mit \(x\) monoton wachsend. Sind die Zahlen einer Folge \(V\) untereinander verschieden, und ist jede Zahl aus \(V\) Häufungspunkt einer Folge \(U\), so enthält \(U\) eine Teilfolge \(T\), die für jedes \(\gamma\) und jedes natürliche \(x\) der Ungleichung \[ |T_\gamma(x) - V_\gamma (x)|\leqq\lambda (x) \] genügt. -- Hilfssatz 3: Ist \(\lambda (x)\) wie in Hilfssatz 2 definiert, \(T\) eine Teilfolge von \(U\), so läßt sich \(U\) in eine Folge \(W\) umordnen, so daß für jedes \(\gamma\) und alle natürlichen \(x\) \[ |W_\gamma(x) - T_\gamma (x)|\leqq\lambda (x) \] ist. -- Zum Beweis von Satz 6 wird gezeigt: Hilfssatz 4: Es gibt eine Folge \(W\) aus verschiedenen Zahlen \(< 1\), so daß für jedes natürliche \(x\) und für jedes \(\gamma\) mit \(0\leqq\gamma\leqq 1\) \[ |W_\gamma(x) - \gamma x|<1+\dfrac{\log\, x}{\log\, 2} \] ist. -- Hilfssatz 5: Ist \(\psi(\gamma)\) für jedes \(\gamma\) definiert, monoton nichtabnehmend und \[ \lim\limits_{\gamma\to -\infty}\psi(\gamma) = 0, \lim\limits_{\gamma\to +\infty}\psi(\gamma) = 1, \] so gibt es eine Folge \(V\) verschiedener Zahlen, so daß für jedes \(\gamma\) und für jedes natürliche \(x\) \[ |V_\gamma(x) - x\psi (x)|<1+\dfrac{\log\, x}{\log\, 2} \] ist, und \(V\) für kein einziges Zahlenpaar \(\alpha,\beta\) mit \[ \alpha <\beta, \;\psi(\alpha) = \psi(\beta) \] eine Zahl \(v\) mit \(\alpha\leqq v <\beta\) enthält. -- Satz 5 endlich wird aus Satz 6 hergeleitet.