Remarks on Hardy's convergence theorem. (Q2611763)

Verf. beweist: I. Ist \[ \lambda_m \geqq 0, \quad a_m \geqq 0, \quad \Lambda_m= \sum_{m}^\infty \lambda_n>0, \quad \varrho_m = \sum_1^m \frac {\lambda_n a_n}{\Lambda_n}, \quad k> 1 \] und konvergiert die Reihe \[ \sum_1^\infty \lambda_n a_n^k, \] so gilt \[ \sum_1^\infty \lambda_n \varrho_n^k \leqq k \sum_1^\infty \lambda_n a_n \varrho_n^{k-1} \leqq k^k \sum_1^\infty \lambda_n a_n^k . \] II. Ist \[ \lambda_m \geqq 0, \quad a_m \geqq 0, \quad \Lambda_m = \sum_m^\infty \lambda_n > 0, \quad \sigma_m = \sum_m^\infty \lambda_n a_n> 0, \quad k > 1 \] und konvergiert die Reihe \[ \sum_1^\infty \lambda_n a_n^k, \] so gilt \[ \sum_1^\infty \lambda_n \left( \frac{\sigma_n}{\Lambda_n} \right)^k \leqq \frac k{k-1} \sum_1^\infty \lambda_n a_n \left( \frac{\sigma_n}{\Lambda_n} \right)^{k-1} \leqq \left(\frac k{k-1}\right)^k \sum_1^\infty \lambda_n a_n^k. \] Ferner erweitert Verf. diese Sätze sowie auch die verwandten \textit{Hardy}schen Originalsätze zu entsprechenden Integralsätzen. So beweist er das folgende Analogon zu I: I.\(^*\) Ist \[ \lambda(x)>0, \quad a(x) \geqq 0, \quad \varLambda_x = \int\limits_x^\infty \lambda(x)\, dx, \quad \varrho_x = \int\limits_0^x \frac{\lambda(x) a(x)}{\varLambda(x)} \, dx, \quad k>1 \] und konvergiert \[ \int\limits_0^\infty \lambda(x) a^k(x)\, dx \] zu einem positiven Wert, so gilt \[ \int\limits_0^\infty \lambda(x) \varrho^k(x)\, dx \leqq k\int\limits_0^\infty \lambda(x) a(x) \varrho^{k-1}(x) \,dx \leqq k^k\int\limits_0^\infty \lambda(x) a^k(x)\, dx. \] (IV 3 B.)