Some identities satisfied by infinite series. (Q2611766)

Ist \(a_n\) reell und \[ b_n = \frac{a_0 + a_1 + \cdots + a_n}{n+1}, \quad c_n = \frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n+1}}{n+2} + \frac{a_{n+2}}{n+3} + \cdots, \] so gelten (von \(a_n \equiv 0\) abgesehen) die Ungleichungen \[ (1) \qquad \sum b_n^2 < 4 \sum a_n^2, \qquad \qquad \qquad (2) \qquad \sum c_n^2 < 4 \sum a_n^2. \] Analoge Ungleichungen bestehen für Integrale: Ist \[ g(x) = \frac 1x \int\limits_0^x f(t)\,dt, \qquad h(x) = \int\limits_x^\infty \frac{f(t)}{t} \, dt, \] so hat man (von \(f \equiv 0\) abgesehen) \[ (3) \qquad \int\limits_0^\infty g^2\,dx < 4 \int\limits_0^\infty f^2\, dx, \qquad \qquad \qquad (4) \qquad \int\limits_0^\infty h^2\, dx < 4 \int\limits_0^\infty f^2 \, dx; \] ist ferner \[ G(\theta) = \frac 12 \text{ ctg } \frac 12 \theta \int\limits_0^\theta F(t)\,dt, \quad H(\theta) = \int\limits_\theta^\pi \frac 12 \text{ ctg } \frac 12 t F(t)\,dt, \] so gelten (wieder von \(F \equiv 0\) abgesehen) die Ungleichungen \[ (5) \qquad \int\limits_0^\pi G^2\,d\theta < 4 \int\limits_0^\pi F^2\, d\theta, \qquad \qquad \qquad (6) \qquad \int\limits_0^\pi H^2\,d\theta < 4 \int\limits_0^\pi F^2\, d\theta. \] Es wird in der vorliegenden Note darauf hingewiesen, daß sich diese Ungleichungen (vgl. zu (l)-(4): \textit{Hardy-Littlewood-Pólya}, Inequalities (1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 169), 175 und 239-247) durch die Theorie der Orthogonalreihen verknüpfen lassen. Dabei ergeben sich zugleich interessante Identitäten, deren Auffindung auf anderem Wege schwierig sein dürfte. Als erstes Beispiel werden (1) und (4) durch die Theorie der \textit{Laguerre}schen Reihen verknüpft. Zunächst wird für eine Funktion \(f(x)\) der Klasse \(L^2\) in \((0, \infty)\) und \[ h(x) = \int\limits_x^\infty \frac{f(t)}{t}\, dt \] die Identität bewiesen \[ 4\int\limits_0^\infty f^2\, dx = \int\limits_0^\infty h^2\, dx + \int\limits_0^\infty (2f - h)^2\, dx. \tag{7} \] Aus ihr folgt (4). Sind sodann \[ f(x) \sim \sum a_n \varPhi_n (x), \quad h (x) \sim \sum p_n \varPhi_n (x) \] die Entwicklungen von \(f\) und \(h\) nach normierten, orthogonalen \textit{Laguerre}schen Funktionen \(\varPhi_n (x) = \frac{1}{n!} \, e^{-\tfrac 12 x} L_n(x)\), so folgt aus (7) nach dem \textit{Parseval}schen Satz \[ 4\sum a_n^2 = \sum p_n^2 + \sum (2a_n - p_n)^2. \] Berücksichtigt man endlich noch die Beziehung zwischen den \(a_n\) und \(p\), so erhält man den Satz: Ist \(\sum a_n^2 < \infty\), \(A_n = a_0 + a_1 +\cdots + a_n\), so existiert \[ p_n = 2\left(\frac{A_n}{n+1} - \frac{A_{n+1}}{n+2} + \cdots\right) \] für jedes \(n\), es ist \(\sum p_n^2 < \infty\), und es gilt \[ \begin{multlined} \sum \left(\frac{A_n}{n+1}\right)^2 = \sum p_n^2 \frac 12 p_0^2 - \frac 14 \sum (p_n - p_{n+1})^2 \\ = 4\sum a_n^2 - \frac 12 p_0^2 - \sum(2a_n - p_n)^2 \frac 14 \sum (p_n - p_{n+1})^2. \end{multlined} \tag{8} \] Daraus entnimmt man (1) sowie \[ \sum p_n^2 < 4\sum a_n^2. \] Anschließend wird gezeigt, daß die Identität (8), nachdem sie bekannt ist, leicht direkt bewiesen werden kann. Als zweites Beispiel werden die Formeln angegeben, die (2) und (5) verknüpfen. Ausgehend von \[ \int\limits_0^\pi (4F^2 - G^2)\, d\theta = \int\limits_0^\pi (2F - G)^2\, d\theta + 2\int\limits_0^\pi G^2 \text{ tg}^2 \frac 12 \theta \, d\theta \] wird hier durch Heranziehung der Theorie der \textit{Fourier}reihen die Identität \[ \sum_0^\infty q_n^2 = 4\sum_1^\infty \left(1 - \frac{1}{8n^2}\right) a_n^2 - \sum_1^\infty (2a_n - q_n)^2 \quad \text{ mit } \quad q_n = \frac{a_n}{2n} + \frac{a_{n+1}}{n+1} + \frac{a_{n+2}}{n+2} + \cdots \] (in \(q_0\) ist der erste Summand wegzulassen) gewonnen. \ \ (IV 1; 3 B, D.)