Über die Hausdorffschen Limitierverfahren, die schwächer sind als das Abelsche. (Q2611775)

Als \(T\)-Transformation \(T(s_n)\) einer Folge \((s_n)\) bezeichnet man die Folge \[ s_k^\prime = \sum_{n=0}^\infty a_{kn} s_n \qquad (k =0,1, 2, \dots). \] Hat die Matrix \(T = (a_{kn})\) die spezielle Form \(\varrho \mu \varrho\), in der die Matrix \(\varrho\) die Elemente \( (-1)^n \binom kn\) hat und \(\mu\) eine Diagonalmatrix ist mit den Elementen \(\mu_n\) in der Diagonale, so heißt \(T\) eine \textit{Hausdorff}sche Matrix und soll mit \(H_\mu\) bezeichnet werden. Die den bekanntesten Limitierungsverfahren (\textit{Cesàro, Holder, Euler-Knopp} usw.) entsprechenden Matrizen sind \textit{Hausdorff}sche. Verf. beweist nun zunächst die folgende elegante (rein formal zu deutende) Identität, bei der \(H_\mu (s_n) \equiv S_n\), \(\mu_n = \dfrac{g_n}{G_n}\) \ und \ \(\sum\limits_n g_n z^n = g(z)\), \ \(\sum G_n z^n = G(z)\) gesetzt ist: \[ \sum_{n=0}^\infty s_n(-z)^n \frac{g^{(n)}(z)}{n!} = \sum_{n=0}^\infty S_n(-z)^n \frac{G^{(n)}(z)}{n!}. \] Setzt man \(x = \dfrac{-z}{1-z}\), \(\dfrac{1}{1-z} = h(z)\), so gewinnt die \textit{Abel}sche Transformation \((1-x) \sum s_n x^n\), \((x\to 1 - 0)\), der Folge \((s_n)\) die Form \[ \sum_{n=0}^\infty s_n(-z)^n \frac{h^{(n)}(z)}{n!} \qquad (z\to -\infty). \] Dies führt den Verf. dazu, folgendes \(f(z)\)-Verfahren zur Limitierung einer Folge \((s_n)\) einzuführen: Wenn die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty s_n (-z)^n \frac{f^{(n)}(z)}{n!} \] für kleine \(|z|\) konvergiert und eine Funktion darstellt, die für alle negativ reellen \(z\) regulär ist, und die für \(z\to -\infty\) den Grenzwert \(s\) hat, so soll \((s_n)\) als \(f(z)\)-limitierbar zum Werte \(s\) bezeichnet werden. Für \(f(z) = \dfrac{1}{1-z}\) erhält man das etwas verallgemeinerte \textit{Abel}sche Verfahren, das hier \(\overline A\)-Verfahren genannt werden soll, für \(f(z) = e^z\) das ebenso verallgemeinerte \textit{Borel}sche Verfahren. Verf. beweist nun zunächst den \textit{Satz}: Damit das \(f(z)\)-Verfahren konvergenzerhaltend sei, ist notwendig und hinreichend, daß A. \ \(\sum\limits_n \left|(-z)^n \dfrac{f^{(n)}(z)}{n!}\right| < M\) ist für alle \(z< 0\), und daß B. \ \(f(z)\) in 0 regulär ist. \newline Gestützt auf diesen Satz, dessen Beweis nicht ganz einfach ist, gewinnt er dann die folgenden interessanten Hauptergebnisse: I. Damit ein \(H_\mu\)-Verfahren schwächer sei als das \(\overline A\)-Verfahren, ist notwendig und hinreichend, daß \(f(z) = \sum \dfrac{1}{\mu_n} z^n\) den Bedingungen \(A\) und \(B\) genügt. (\(\mu_n \neq 0\); für \(\mu_0 = 0\) läßt sich der Satz noch retten, für \(\mu_k = 0\), \(k > 0\), nicht.) Schwächer als das gewöhnliche A-Verfahren ist es dann und nur dann, wenn außer A die Regularität von \(f(z)\) in der ganzen von \(+1\) nach \(+\infty\) aufgeschnittenen Ebene gefordert wird. II. Damit ein \(H_\mu\)-Verfahren schwächer sei als ein beliebiges \(g(z)\)-Verfahren, ist notwendig und hinreichend, daß \(f(z) = \sum \dfrac{g_n}{\mu_n} z^n\) die Bedingungen A und B erfüllt. Schwächer als das gewöhnliche \textit{Borel}sche Verfahren ist es dann und nur dann, wenn außer A die Regularität von \(f(z)\) in der ganzen Ebene gefordert wird.