Le théorème de Souslin dans la théorie générale des ensembles. (Q2611800)

\(S \{E_{n_1, n_2, \dots, n_k}\}\) und \(T \{H_{n_1, n_2, \dots, n_k}\}\) seien zwei (aus beliebigen Mengen gebildete) \textit{Suslin}sche Schemata und \(N(S)\) bzw. \(N (T)\) ihre Kerne. Verf. sagt, daß die Systeme \(S\) und \(T\) sich ``in Relation \(R\)'' befinden, wenn zu je zwei unendlichen Folgen von Indices \(p_1, p_2, p_3, \dots \) und \(q_1, q_2, q_3,\dots\) eine natürliche Zahl \(s\) existiert, so daß \(E_{p_1, p_2, \dots, p_s}H_{q_1, q_2, \dots q_s}= 0\) ist. Mit \(\mathfrak B(S)\) und \(\mathfrak B (T)\) werden noch die Familien der \textit{Borel}schen Mengen relativ zu \(S\) bzw. \(T\) bezeichnet (die aus den Mengen von \(S\) bzw. \(T\) durch endlich oder abzählbar viele Summen- und Durchschnittsbildungen entstehen). Es handelt sich nun um den Satz: Befinden sich zwei \textit{Suslin}sche Schemata \(S\) und \(T\) in Relation \(R\), dann existieren zwei Mengen \(P\) und \(Q\) derart, daß \( P \in \mathfrak B (S)\), \(Q\in \mathfrak B(T)\), \(PQ = 0\), \(N(S) \subset P\) und \(N(T) \subset Q\) gilt. Der Beweis dieses Satzes kann entweder indirekt, aber ohne transfinite Zahlen, durch leichte Modifikation des früheren Beweises des Verf. für den \textit{Suslin}schen Satz (Fundamenta Math. 21 (1933), 250-275; F. d. M. \(59_{\text{II}}\) 887; in diesem Referat auch Erklärung der Bezeichnungen) oder -- wie es Verf. hier ausführt -- konstruktiv, aber mittels transfiniter Zahlen erhalten werden. Schließlich wird noch eine Verallgemeinerung des Satzes auf abzählbar unendlich viele \textit{Suslin}sche Schemata angegeben. \ \ (I 2.)