Sur une hypothèse de M. Lusin. (Q2611803)

Eine leere analytische Menge ist definiert mittels eines geradlinigen Siebes \(C\), das von jeder Parallelen zur \(y\)-Achse in einer (in Richtung der positiven \(y\)-Achse) wohlgeordneten Menge geschnitten wird. Die einfachsten unter diesen Sieben \(C\) sind die sogenannten ``wohlgeordneten Siebe'' \(\varGamma\), deren Projektion \(G\) auf die \(y\)-Achse wohlgeordnet ist. \textit{Lusin} gibt zunächst eine verschärfte Abschätzung der Klasse der Konstituente höchster Ordnung von \(\varGamma\). Diese Abschätzung wendet er sodann an, um den folgenden Satz zu beweisen: Es existieren geradlinige Siebe \(C\), deren Konstituenten \(\mathfrak E_\alpha\) nicht in ``isolierende'' \textit{Borel}sche Mengen \(H_\alpha\) von beschränkter Klasse eingeschlossen werden können. (Das ist so gemeint: \(\mathfrak E_\alpha \subset H_\alpha\) und die \(H_\alpha\) sollen zueinander fremd sein.) Das Interesse dieses Satzes beruht auf dem Zusammenhang mit einigen tiefliegenden, ungelösten Problemen. An diese Probleme anknüpfend, führt \textit{Lusin} als ``ideale'' komplementär-analytische Mengen die nicht-\textit{Borel}schen komplementär-analytischen Mengen ein, die keine perfekten Teilmengen enthalten; er stellt mehrere hypothetische Sätze auf, von denen er z. B. den folgenden für zweifellos hält: (\(L\)): Jede Punktmenge von der Mächtigkeit \(\aleph_1\) ist komplementär-analytisch. \textit{Sierpiński} weist zunächst darauf hin, daß aus der Hypothese (\(L\)) folgt: \(2^{\aleph_0}= 2^{\aleph_1}\) (was \textit{Lusin} als ``zweite Kontinuumhypothese'' bezeichnet); und ferner: Jede Menge von der Mächtigkeit \(\aleph_1\) ist vom Maß Null und stets von erster Kategorie. -- Im Zusammenhang mit einer anderen (von \textit{Lusin} als wahrscheinlich bezeichneten) Hypothese gibt \textit{Sierpiński} noch ein effektives Beispiel einer transfiniten Folge vom Typus \(\varOmega\) von linearen analytischen Mengen, deren Summe eine Menge \(PC (A)\), aber keine Menge \(CPC(A)\) ist.