Sur deux problèmes de M. Ruziewicz concernant la décomposition de l'intervalle en paires de points. (Q2611811)

\textit{Ruziewicz} hat die beiden folgenden Probleme gestellt: 1. Das Intervall \(I = \langle 0,1\rangle\) sei in fremde Punktepaare zerlegt; kann man stets aus diesen Paaren eine Menge von beliebig vorgegebenem Maß \(\alpha\) \ \((0 < \alpha < 1)\) bilden? 2. Existiert eine Zerlegung von \(I\) in fremde Punktepaare derart, daß jede Summe \(S\) von nicht-abzahlbar vielen dieser Paare, für welche \(I-S\) nicht abzählbar ist, nicht meßbar wird? In der \textit{zweiten} Note beantwortet Verf. beide Fragen, und zwar die \textit{erste Frage negativ}, indem er (mittels des Wohlordnungssatzes) beweist: Es existiert eine Zerlegung von \(I\) in fremde Punktepaare derart, daß jede meßbare Menge, die aus diesen Paaren gebildet wird, entweder das Maß 0 oder das Maß 1 besitzt. -- Die \textit{zweite Frage} beantwortet Verf. auf Grund der Kontinuumhypothese \textit{positiv}, indem er mittels dieser Hypothese beweist: Es existiert eine Zerlegung von \(I\) in fremde Punktepaare derart, daß jede meßbare Menge, die Summe von nichtabzählbar vielen dieser Paare ist, das Maß 1 besitzt. Das Problem (1) (in etwas allgemeinerer Formulierung: Nullmengen statt Punktepaare) wird auch in der \textit{ersten Note}, allerdings hier unter Voraussetzung der Kontinuumhypothese, negativ erledigt, und zwar als unmittelbare Folgerung des Satzes II. Diese Frage bildet überhaupt den Anlaß zu den in der ersten Note ausgeführten Untersuchungen. Hier beweist Verf. insbesondere den Satz I: Es sei \(E\) eine unendliche Menge von der Mächtigkeit \(\mathfrak m\) und \(\varPhi\) eine Familie von der Mächtigkeit \(\mathfrak m\), die aus Teilmengen von \(E\) von der Mächtigkeit \(\mathfrak m\) besteht; dann enthält \(E\) \(\mathfrak m\) fremde Mengen von einer Mächtigkeit \(<\mathfrak m\) derart, daß jede Summe von \(\mathfrak m\) von ihnen mindestens ein Element mit jeder Menge der Familie \(\varPhi\) gemeinsam hat. Daraus folgt: Es existiert eine Zerlegung des Intervalls \(I\) in \(2^{\aleph_0}\) fremde Mengen von einer Mächtigkeit \(< 2^{\aleph_0}\) derart, daß jede Summe von \(2^{\aleph_0}\) von ihnen mindestens einen Punkt mit jeder perfekten Menge aus \(I\) gemeinsam hat. Und hieraus ergibt sich unmittelbar: Satz II: Mit der Kontinuumhypothese ist folgende Aussage gleichwertig: \(I\) ist Summe von fremden, abzählbaren Mengen derart, daß jede Summe von nicht abzählbar vielen von ihnen mindestens einen Punkt mit jeder perfekten Menge aus \(I\) gemeinsam hat. Aus Satz II wird u. a. noch ein früherer Satz des Verf. (Fundamenta Math. 13 (1929), 195-200; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 56) sehr einfach gewonnen.