Les superpositions de fonctions. (Q2611817)

Verf. zählt einige Probleme auf, die im Zusammenhang mit der Superposition von Funktionen stehen, und gibt einen kurzen Überblick über die bisher auf diesem Gebiete erzielten Resultate. Dabei nennt Verf. die Funktion \[ f(x) = f_n f_{n-1} \dots f_3f_2 f_1 (x) \] die Superposition der Funktionen \(f_1 (x), f_2(x),\dots,f_n (x)\). Eines der einfachsten diesbezüglichen Probleme ist: Wenn \(\varPhi_1 \) eine gegebene Funktionenfamilie ist, gehört dann die Superposition je zweier Funktionen aus \(\varPhi_1 \) wieder zu \(\varPhi_1\,\)? Ist die Frage zu verneinen, so erhält man durch alle Superpositionen in \(\varPhi_1 \) eine neue Familie \(\varPhi_2 \) usw. Ein neues Problem ist, die kleinste ganze Zahl \(n\) zu bestimmen, so daß \(\varPhi_{n+1} = \varPhi_n \) ist. Verf. definiert sodann die Superposition unendlich vieler Funktionen: Ist \(f_1 (x), f_2 (x), f_3 (x), \dots\) eine Folge von Funktionen aus einer Familie \(\varPhi_1 \) so heißt \[ f(x) = \lim_{n=\infty} f_nf_{n-1} \dots f_3f_2 f_1 (x) \] die (äußere) Superposition dieser Folge, wenn der Limes existiert, \(f (x)\) heißt innere Superposition der Folge, wenn \[ f (x)= \lim_{n=\infty} f_1f_{2} \dots f_n (x) \] ist. Mit diesen unendlichen Superpositionen aus \(\varPhi_1\) wird die Klasse \(\varPhi_\omega\) gebildet, und Verf. definiert noch die Familien \(\varPhi_\alpha\) für alle Ordnungszahlen \(\alpha\) der zweiten \textit{Cantor}schen Zahlenklasse. Die Schlußbetrachtungen sind den Superpositionen von Funktionen mehrerer Veränderlichen gewidmet, und Verf. erwähnt vor allem den \textit{Bieberbach}schen Satz (Journ. f. Math. 165 (1931), 89-92; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 301), wonach jede Funktion von zwei Variablen sich als Superposition von Funktionen einer einzigen Variablen und der Funktion \(s (x, y) = x + y\) darstellen läßt.