Les superpositions transfinies des fonctions continues et les fonctions de Baire. (Q2611818)

Verf. beweist zunächst (sehr einfach!) den Satz: Damit zu einer gegebenen Funktion \(f (x)\) einer reellen Veränderlichen eine unendliche Folge von stetigen Funktionen \(f_n(x)\) \( (n = 1, 2,\dots)\) existiert, derart daß (für jedes reelle \(x\)) \[ f(x) = \lim_{n \to \infty} f_1f_2 \dots f_n(x) \tag{*} \] wird, ist notwendig und hinreichend, daß \(f (x)\) eine \textit{Baire}sche Funktion von höchstens erster Klasse ist. Die \(f_n(x)\) dürfen hierin sogar als stetige Funktionen von beschränkter Schwankung (in jedem endlichen Intervall) vorausgesetzt werden. Dagegen kann im vorstehenden nicht (*) durch \(\lim\limits_{n\to \infty } f_nf_{n-1} \dots f_1 (x)\) ersetzt werden. Ferner beweist Verf: Man bezeichne mit \(\varPhi\) die kleinste Familie von Funktionen einer reellen Veränderlichen, der jede stetige Funktion angehört, und die mit jeder Folge von Funktionen \(f_n(x)\) (\(n = 1, 2,\dots\) ) auch die Funktion (*) enthält. Dann fällt \(\varPhi\) mit der Familie aller \textit{Baire}schen Funktionen einer reellen Veränderlichen zusammen. Zum Schluß wird auf einige, mit diesen Superpositionen zusammenhängende, noch nicht beantwortete Fragen hingewiesen.