Sur un problème de M. Ruziewicz concernant les superpositions de fonctions jouissant de la propriété de Baire. (Q2611819)

Es handelt sich im folgenden stets um Funktionen einer reellen Veränderlichen, \textit{Ruziewicz} (Mathematica Cluj 7 (1933), 89-91; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 267) hat bewiesen, daß sich jede Funktion durch Superposition von zwei meßbaren Funktionen darstellen läßt. Verf. untersucht die Frage, ob man hierbei die meßbaren Funktionen durch die Funktionen mit der \textit{Baire}schen Eigenschaft (abgekürzt: ``B. E.'') ersetzen kann. Zunächst wird gezeigt, daß dies der Fall ist, wenn die B. E. im weiteren Sinne verstanden wird, d. h: die betreffende Funktion soll auf der Geraden stetig sein, wenn man eine Menge erster Kategorie vernachlässigt. Zu diesem Zweck wird sehr einfach bewiesen, daß jede Funktion durch Superposition von zwei punktweise unstetigen Funktionen darstellbar ist. Die Antwort fällt dagegen negativ aus, wenn die B. E. im engeren Sinn verstanden wird (d. h: die betreffende Funktion soll auf jeder perfekten Menge \(P\) stetig sein, wenn man jedesmal eine Menge, die bezüglich \(P\) von der ersten Kategorie ist, vernachlässigt). Es existieren Funktionen (z. B. die charakteristische Funktion einer linearen Menge, die zusammen mit ihrer Komplementärmenge total imperfekt ist), die weder durch endlich viele noch durch (in bestimmter Weise definierte) abzählbar viele Superpositionen von Funktionen mit der B. E. dargestellt werden können. Hierbei kann sogar, was für den Beweis wesentlich benutzt wird, die B. E. durch eine noch allgemeinere ``Eigenschaft \(\varPi\)'' ersetzt werden: Jede perfekte Menge soll eine perfekte Teilmenge enthalten, auf der die betreffende Funktion stetig ist.