Sur les suites infinies de fonctions définies dans les ensembles quelconques. (Q2611822)

\(A\) bezeichne die Menge der Funktionen \(f (x)\), die in \(I = \langle0,1\rangle\) definiert und stetig sind, und deren Werte ebenfalls zu \(I\) gehören. \textit{Jarník} und \textit{Knichal} beweisen \textit{in der ersten Arbeit} den Satz I: Sei \[ f_1(x), f_2 (x), f_3 (x), \dots. \tag{1} \] eine unendliche Folge von Funktionen aus \(A\). Dann existieren zwei Funktionen (\(\varphi_1 (x), \varphi_2(x)\) aus \(A\) derart, daß jede Funktion der Folge (1) eine endliche Superposition dieser beiden Funktionen ist. Hieraus folgt mittels des \textit{Weierstraß}schen Approximationssatzes unmittelbar der Satz II: Es existieren zwei Funktionen \(\varphi_1(x), \varphi_2(x)\) aus \(A\) mit folgender Eigenschaft: Zu jeder beliebigen Funktion \(f (x)\) aus \(A\) und zu jeder positiven Zahl \(\delta\) existiert eine Funktion \(\psi (x)\), die eine endliche Superposition der beiden Funktionen \(\varphi_1(x), \varphi_2(x)\) ist derart, daß \[ \underset {0 \leqq x \leqq 1} {\text{ Max }} |f(x) - \psi (x)| < \delta. \] Einen zu II analogen Satz hatten -allerdings in einer weniger scharfen Form -bereits \textit{Schreier} und \textit{Ulam } (Fundamenta Math. 23 (1934), 102-118; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 529) bewiesen; sie verwendeten statt der zwei Funktionen \(\varphi_1\), \(\varphi_2\) fünf solche Funktionen. \textit{Sierpiński} (Fundamenta Math. 23 (1934), 119-120; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 195) hatte dann die I und II entsprechenden Sätze mit nur vier Funktionen bewiesen. \textit{Jarník} und \textit{Knichal } leiten hier ihren Satz I dadurch her, daß sie die vier Funktionen von \textit{Sierpiński} als endliche Superposition von zwei solchen Funktionen darstellen. Übrigens können nicht die zwei Funktionen durch nur eine ersetzt werden. \textit{In der zweiten Arbeit} beweist \textit{Sierpiński} den entsprechenden Satz zu I, wenn \(I\) durch eine beliebige unendliche Menge \(E\) (von beliebigen Elementen) ersetzt wird und außerdem von der Stetigkeit der Funktionen abgesehen wird. (Auch hier kann die Zahl 2 nicht erniedrigt werden.) -Dagegen gilt dieser Satz nach \textit{Eilenberg } nicht für \textit{endliche} Mengen \(E\) die aus mehr als zwei Elementen bestehen.