Über konvexe Funktionen. (Q2611875)

Von \textit{Blaschke} und \textit{Pick} rührt folgender Satz her (Math. Ann. 77 (1916), 277-300; F. d. M. 46, 411 (JFM 46.0411.*)): Unter allen positiven normierten (von oben) konvexen Funktionen \(\varphi (x)\) macht entweder \(\varphi_0 (x) = x \sqrt{3}\), oder \(\varphi_1 (x) = (1- x)\sqrt{3}\), oder jede dieser beiden Funktionen die Größe \(\int\limits_0^1 \varphi (x) h (x)\, dx\) zum Minimum, wenn \(h(x)\) eine beliebige gegebene positive konvexe Funktion bedeutet. Verf. gibt eine sehr weitreichende Verallgemeinerung dieses Satzes an: \(h (x)\) muß nur nicht negativ sein und ein positives \(L\)-Integral besitzen, braucht also keineswegs konvex zu sein; die konvexen Minimalfunktionen gehören dann alle zu den \textit{Frank-Pick-Blaschke}schen Funktionen \(\varphi_t (x) (0 \leqq t \leqq 1)\), wobei \(\varphi_t (x)\) \((0<t<1)\) in den Intervallen \(\langle 0, t\rangle\), \(\langle t, 1\rangle\) linear und durch \(\varphi_t (0) = 0\), \(\varphi_t (t) = \sqrt{3}\), \(\varphi_t (1) = 0\) festgelegt ist.