Sur une propriété de fonctions quelconques d'une variable réelle. (Q2611893)

Für eine beliebige Funktion einer reellen Veränderlichen \(f (x)\) und eine nach Null konvergierende unendliche Folge von von Null verschiedenen Zahlen \(h_n\) wird eine Funktion \(F (x)\) einer reellen Veränderlichen konstruiert, welche für jedes reelle \(x\) die Gleichung \[ \lim_{n= \infty} \frac {F(x+h_n) - F(t)}{h_n} = f(x) \] erfüllt. Die Bezeichnung \(x R y\) soll zum Ausdruck bringen, daß eine endliche Folge natürlicher Zahlen \(n_1, n_2, \dots, n_k\) und eine endliche Folge von Zahlen \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_k\) welch letztere sämtlich die Werte \(\pm 1\) haben, existiert, die die Gleichung \[ x- y = \varepsilon_1 h_{n_1} + \varepsilon_2 h_{n_2} + \cdots + \varepsilon_k h_{n_k} \] erfüllen. Die Gesamtheit der reellen Zahlen wird dann derart in verschiedene Klassen eingeteilt, daß zwei Zahlen \(x\) und \(y\) dann und nur dann zur gleichen Klasse gehören, wenn \(x R y\) besteht. In einer Klasse \(E\) seien nun alle ihr angehörenden Zahlen zu einer unendlichen Folge \(x_1, x_2, x_3, \dots \) geordnet. Ist nun \(E_i\) die Menge der Zahlen \[ x_i+h_j \qquad (i=1,2,3,\dots; \;j = 1,2,3,\dots), \] so ist \[ E = E_1+E_2+E_3+\cdots . \] Es genügt nun, die Funktion \(F (x)\) für die Mengen \(R_1 = E_1\) und \[ R_m = E_m-(E_1 + E_2+\dots + E_{m-1}) \qquad (m = 2, 3, 4,\dots) \] zu bilden, wobei jedesmal angenommen werden kann, daß sie schon für die Mengen \(E_1 + E_2 +\cdots + E_{m-1}\) definiert ist. In dem Bereich der Menge \(R_m\) setzt man zunächst für \(x \not = x_m\) \[ F(x) = F(x_m)+(x-x_m)f(x_m), \] eine Gleichung, die für \(x - x_m\) trivial ist. Es wird nun gezeigt, daß man einen Index \(\mu\), finden kann, der so groß ist, daß für jedes \(n> \mu\) die Zahlen \(x_m + h_n\) der Menge \(R_m\) angehören. Setzt man dann in der vorangehenden Gleichung \[ x = x_m + h_n, \] so erhält man zunächst für die Menge \(R_m\) \((m = l, 2, 3,\dots)\) die Gleichung \[ F(x_m + h_n) = F(x_m) + h_nf(x_m), \] wenn \(n > \mu\) ist. Daraus folgt aber sofort die geforderte Gleichung.