Some inequalities satisfied by the integrals or derivates of real or analytic functions. (Q2611906)

Eine Gruppe von Ungleichungen zwischen Integralmitteln von Integralen und Ableitungen analytischer bzw. reeller Funktionen: 1: Die Funktion \[ f(z) = f(r e^{i\vartheta}) = \sum_0^\infty a_n z^n \] sei für \(r <1\) regulär. Nach \textit{Liouville-Hadamard} wird \[ f_\alpha(z) = \frac{1}{\varGamma(\alpha)} \int\limits_0^z (z - u)^{\alpha-1} f(u)\, du \qquad (\alpha > 0) \] gesetzt, \(f_0(z) = f(z)\), und für \(\alpha < 0\) mit \(-N = [\alpha]\) \[ f_\alpha(z) = \left(f^{(N)}(z)\right)_{N+\alpha} \qquad (\alpha < 0) \] definiert. Die Beziehung \[ f_\beta(z) = \left(f_\alpha(z) \right)_{\beta -\alpha} \qquad (\beta >\alpha) \] ist richtig, wenn die Existenz eines ganzen \(n\) mit \[ n + \alpha < 0 \leqq n+\beta \] von dem Verschwinden des entsprechenden \(a_n\) begleitet ist. \(f_\beta\) und \(f_\alpha\) heißen dann in ``normaler Beziehung''. Für \(0 \leqq \alpha < \beta\) ist dies sicher der Fall. Satz I: Es sei \(p > 0\). Wenn \(\alpha < \beta < \gamma\), \(\gamma - \alpha < \mathfrak L\) und \(f_\beta\) und \(f_\gamma\) in normaler Beziehung sind, so gilt \[ M_p(f_\beta) \leqq K(p, \mathfrak L) \left(M_p(f_\alpha)\right)^{\tfrac{\gamma - \beta}{\gamma - \alpha}} \left(M_p(f_\gamma)\right)^{\tfrac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}}. \] Dabei bezeichnet \(M_p\) das \(p\)-te Integralmittel \[ M_p(\psi, r) = \left(\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} |\psi(re^{i\vartheta})|^p \, d\vartheta\right)^{\tfrac 1p}. \] 2: Es sei \(p \geqq 1\). \(y(x)\) und \(y^{\prime\prime}(x)\) gehöre in \((0, \infty)\) zur Klasse \(\mathfrak L^p, y^\prime(x)\) sei ein Integral von \(y^{\prime\prime}(x)\). Endlich werde \[ J_\nu = J_\nu(p) = \left(\int\limits_0^\infty |y^{(\nu)}(x)|^p\, dx\right)^{\tfrac 1p} \qquad (\nu = 0, 1, 2) \] gesetzt. \(\begin{matrix} \l & \;\l \\ \text{Satz II: } & 1. \;y^\prime(x) \;\text{ gehört zur Klasse } \;\mathfrak L^p. \\ & 2. \;J_1^2 \leqq K(p) \, J_0 J_2. \\ & 3. \;\text{ Für das beste } \;K(p) = K_p \;\text{ gilt } \;K_p \leqq 4, \;\lim\limits_{p\to\infty} K_p = 4. \end{matrix}\) \newline Es ist \(K_2 = 2\) (vgl. \textit{Hardy} und \textit{Littlewood}, Quart. Journ. of. Math. (Oxford series) 3 (1932), 241-253; F. d. M. 58). Wegen des Grenzfalles \(p = \infty\) vgl. \textit{Landau}, Meddelelser København 6 (1925), Nr. 10; Proc. London Math. Soc. (2) 13 (1913), 43-49. F. d. M. 51, 188 (JFM 51.0188.*); 44, 463). Der entsprechende Satz für ein endliches Intervall \((a, b)\) ist im allgemeinen falsch. Besitzt aber \(y^\prime\) in \((a, b)\) eine Nullstelle, so bleibt er richtig. \(K(p)\) ist dann auch von \(a\) und \(b\) unabhängig. (Satz III.) 3: \(f(x)\) sei in \((0, \infty)\) beliebig oft differenzierbar, für jedes \(a\) gelte \(x^{a-1} f(x) \to 0\) mit \(x \to \infty\). Es werde jetzt (nach \textit{Weyl}) \[ f_\alpha(x) = \frac{1}{\varGamma(\alpha)} \int\limits_x^\infty (t-x)^{\alpha -1} f(t) \, dt, \quad \alpha > 0, \] \(f_0(x) = f(x)\) und für ganzes positives \(n\) sowie \(a \geqq 0\) \[ f_{\alpha -n}(x) = (-1)^n \, f_\alpha^{(n)} (x) \] gesetzt. Endlich bezeichne für \(p > 0\) \[ J_p(g) = \left(\int\limits_0^\infty |g(x)|^p \, dx\right)^{\tfrac 1p}. \] Satz IV: Es sei \(p > 1\), \ \(-L^\prime < \alpha < \beta < \gamma < L\). Dann gilt \[ J_p(f_\beta) \leqq K(p, L^\prime, L) \left(J_p(f_\alpha)\right)^{\tfrac{\gamma - \beta}{\gamma - \alpha}} \left(J_p(f_\gamma)\right)^{\tfrac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}}. \]